Question

【題目】選修4-4：坐標系與參數(shù)方程

在平面直角坐標系中，傾斜角為的直線的參數(shù)方程為（為參數(shù)）.以坐標原點為極點，軸正半軸為極軸建立極坐標系，曲線的極坐標方程為 ．

（Ⅰ）求直線的普通方程和曲線的直角坐標方程；

（Ⅱ）已知點，若點的極坐標為，直線經(jīng)過點且與曲線相交于兩點，設(shè)線段的中點為，求的值.

Answer 1

【答案】（1）,（2）

【解析】分析：（Ⅰ）將直線的參數(shù)方程中的參數(shù)消掉，得到直線的普通方程，將曲線的極坐標方程等號兩邊同乘以，再根據(jù)平面直角坐標與極坐標之間的轉(zhuǎn)換關(guān)系，求得結(jié)果；

（Ⅱ）根據(jù)題意，得到相應(yīng)點的坐標，代入，求得對應(yīng)直線的斜率，兩個方程聯(lián)立，求得弦的中點，之后應(yīng)用兩點間距離公式求得結(jié)果.

詳解：（Ⅰ）消去直線的參數(shù)方程中的參數(shù)，得到直線的普通方程為：，把曲線的極坐標方程 左右兩邊同時乘以，得到：，

利用公式代入，化簡出曲線的直角坐標方程：；

（Ⅱ）點的直角坐標為，將點的直角坐標為代入直線中，得，即，聯(lián)立方程組：，得中點坐標為，

從而.