Question

【題目】已知數(shù)列的前n項和為，把滿足條件的所有數(shù)列構成的集合記為．

（1）若數(shù)列的通項為，則是否屬于？

（2）若數(shù)列是等差數(shù)列，且，求的取值范圍；

（3）若數(shù)列的各項均為正數(shù)，且，數(shù)列中是否存在無窮多項依次成等差數(shù)列，若存在，給出一個數(shù)列的通項；若不存在，說明理由．

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）數(shù)列中是不存在無窮多項依次成等差數(shù)列，理由詳見解析．

【解析】

（1）由題意可得，證明即后即可得解；

（2）由題意可得，當時，；結合二次函數(shù)的性質可得；即可得；進而可得，即可得解；

（3）轉化條件得即，假設數(shù)列中存在無窮多項依次成等差數(shù)列，不妨設該等差數(shù)列的第項為（為常數(shù)），則存在，，使得，設，，，作差后可得即當時，，進而可得不等式有無窮多個解，顯然不成立，即可得解.

（1）因為，所以，

所以，

所以，即；

（2）設的公差為，因為，

所以（*）

特別的當時，，即，

由（*）得，

整理得，

因為上述不等式對一切恒成立，所以必有，解得，

又，所以，

于是，即，

所以即；

（3）由得，所以，即，

所以，從而有，

又，所以，即，

又，，所以有，

所以，

假設數(shù)列中存在無窮多項依次成等差數(shù)列，

不妨設該等差數(shù)列的第項為（為常數(shù)），

則存在，，使得，即，

設，，，

則，

即，

于是當時，，

從而有：當時，即，

于是當時，關于的不等式有無窮多個解，顯然不成立，

因此數(shù)列中是不存在無窮多項依次成等差數(shù)列．