【題目】如圖，在正方體中，點是線段上的動點，則下列說法正確的是______（填序號）

①無論點在上怎么移動，都有；

②無論點在上怎么移動，異面直線與所成角都不可能是；

③當(dāng)點移動至中點時，直線與平面所成角最大；

④當(dāng)點移動至中點時，才有與相交于一點，記為點，且.

【答案】①②③④

【解析】

推導(dǎo)出平面可判斷命題①的正誤；設(shè)正方體的棱長為，求得的取值范圍，可求得異面直線與所成角的余弦值的取值范圍，進而可判斷命題②的正誤；利用線面角的定義可判斷命題③的正誤；可知三棱錐為正三棱錐，可得出點為正的中心，利用重心的性質(zhì)可判斷④的正誤.綜合可得出結(jié)論.

對于命題①，如下圖所示，連接、、，

四邊形為正方形，則，

平面，平面，，

，平面，，

同理可得，，平面，

平面，，命題①正確；

對于命題②，過點作平面，垂足為點，連接，設(shè)正方體的棱長為，

則且，所以，異面直線與所成角等于，

易知是邊長為的等邊三角形，當(dāng)點在線段上運動時，，且，

異面直線與所成角都不可能是，命題②正確；

對于命題③，設(shè)點到平面的距離為，設(shè)直線與平面所成的角為，

當(dāng)時，即當(dāng)點為的中點時，取最小值，此時取最大值，

即當(dāng)點移動至中點時，直線與平面所成角最大，命題③正確；

由①可知，平面，且，

則三棱錐為正三棱錐，則與平面的唯一交點為正的中心，

如下圖所示：

連接并延長交于點，則為的中點，且為正的重心，

由重心的性質(zhì)可知，命題④正確.

故答案為：①②③④.

練習(xí)冊系列答案
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【題目】已知函數(shù)在定義域內(nèi)有兩個不同的極值點.

（1）求的取值范圍;

（2）設(shè)兩個極值點分別為：，，證：.

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（1）求橢圓的方程；

（2）若直線交橢圓于點，兩點，與線段和橢圓短軸分別交于兩個不同點，，且，求的最小值.

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【題目】如圖，已知圓經(jīng)過橢圓的左右焦點，與橢圓在第一象限的交點為，且， ， 三點共線.

（1）求橢圓的方程；

（2）設(shè)與直線（為原點）平行的直線交橢圓于兩點，當(dāng)的面積取取最大值時，求直線的方程.

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【題目】盲盒里面通常裝的是動漫、影視作品的周邊，或者設(shè)計師單獨設(shè)計出來的玩偶.由于盒子上沒有標(biāo)注，購買者只有打開才會知道自己買到了什么，因此這種驚喜吸引了眾多年輕人，形成了“盲盒經(jīng)濟”.某款盲盒內(nèi)可能裝有某一套玩偶的、、三種樣式，且每個盲盒只裝一個.

（1）若每個盲盒裝有、、三種樣式玩偶的概率相同.某同學(xué)已經(jīng)有了樣式的玩偶，若他再購買兩個這款盲盒，恰好能收集齊這三種樣式的概率是多少？

（2）某銷售網(wǎng)點為調(diào)查該款盲盒的受歡迎程度，隨機發(fā)放了200份問卷，并全部收回.經(jīng)統(tǒng)計，有的人購買了該款盲盒，在這些購買者當(dāng)中，女生占；而在未購買者當(dāng)中，男生女生各占.請根據(jù)以上信息填寫下表，并分析是否有的把握認為購買該款盲盒與性別有關(guān)？

女生

男生

總計

購買

未購買

總計

參考公式：，其中.

span>參考數(shù)據(jù)：

0.10

0.05

0.025

0.010

0.005

0.001

2.706

3.841

5.024

6.635

7.879

10.828

（3）該銷售網(wǎng)點已經(jīng)售賣該款盲盒6周，并記錄了銷售情況，如下表：

周數(shù)

1

2

3

4

5

6

盒數(shù)

16

______

23

25

26

30

由于電腦故障，第二周數(shù)據(jù)現(xiàn)已丟失，該銷售網(wǎng)點負責(zé)人決定用第4、5、6周的數(shù)據(jù)求線性回歸方程，再用第1、3周數(shù)據(jù)進行檢驗.

①請用4、5、6周的數(shù)據(jù)求出關(guān)于的線性回歸方程；

（注：，）

②若由線性回歸方程得到的估計數(shù)據(jù)與所選出的檢驗數(shù)據(jù)的誤差均不超過2盒，則認為得到的線性回歸方程是可靠的，試問①中所得的線性回歸方程是否可靠？

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【題目】在直角坐標(biāo)系中，曲線的參數(shù)方程為(為參數(shù)).以為極點，軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，直線的極坐標(biāo)方程為()，將曲線向左平移2個單位長度得到曲線.

（1）求曲線的普通方程和極坐標(biāo)方程；

（2）設(shè)直線與曲線交于兩點，求的取值范圍.

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【題目】謝爾賓斯三角形是一種分形，其具體操作是取一個實心的三角形沿三邊中點的連線，將它分成四個小三角形，去掉中間的那一個小三角形，然后對其余三個小三角形重復(fù)以上步驟，得到如下的系列圖稱之為謝爾賓斯：三角形．在第五個圖形中，若隨機的投入一個質(zhì)點，則質(zhì)點落入“空白”處的概率為（ ）

A.B.C.D.

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【題目】在平面直角坐標(biāo)系中，已知直線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），以坐標(biāo)原點為極點，軸的非負半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線的極坐標(biāo)方程為．

（1）求直線的普通方程和曲線的直角坐標(biāo)方程；

（2）設(shè)點，直線與曲線的交點為、，求的值．

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【題目】如圖，直三棱柱中，，，為的中點.

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