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17.已知橢圓E:x2a2+y22=1(a>b>0)的離心率是32,點P(1,32)在橢圓E上.
(1)求橢圓E的方程;
(2)過點P且斜率為k的直線l交橢圓E于點Q(xQ,yQ)(點Q異于點P),若0<xQ<1,求直線l斜率k的取值范圍;
(3)若以點P為圓心作n個圓Pi(i=1,2,…,n),設圓Pi交x軸于點Ai、Bi,且直線PAi、PBi分別與橢圓E交于Mi、Ni(Mi、Ni皆異于點P),證明:M1N1∥M2N2∥…∥MnNn

分析 (1)根據橢圓的離心率求得a2=4b2,將P代入橢圓方程,即可求得a和b的值,求得橢圓方程;
(2)設直線l的方程,代入橢圓方程,利用韋達定理,求得xQ,由0<xQ<1,即可求得k的取值范圍;
(3)由題意可知:故直線PAi,PBi的斜率互為相反數(shù),分別設直線方程,代入橢圓方程,即可求得xi,xi′,根據直線的斜率公式,即可求得yiyixixi=36,kM1N1=kM2N2=…=kMnNn,則M1N1∥M2N2∥…∥MnNn

解答 解:(1)由橢圓的離心率e=ca=12a2=32,則a2=4b2,
將P(1,32)代入橢圓方程:142+342=1,解得:b2=1,則a2=4,
∴橢圓的標準方程:x24+y2=1;
(2)設直線l的方程y-32=k(x-1),
{y32=kx1x24+y2=1,消去y,整理得:(1+4k2)x2+(43k-8k2)x+(4k2-43k-1)=0,
由x0•1=4k243k11+4k2,由0<x0<1,則0<4k243k11+4k2<1,
解得:-36<k<322,或k>3+22,經驗證,滿足題意,
直線l斜率k的取值范圍(-36,322)∪(3+22,+∞);
(3)動圓P的半徑為PAi,PBi,故PAi=PBi,△PAiBi為等腰三角形,故直線PAi,PBi的斜率互為相反數(shù),設PAi的斜率ki,則直線PBi的斜率為-ki,
設直線PAi的方程:y-32=ki(x-1),則直線PBi的方程:y-32=-ki(x-1),
{y32=kix1x24+y2=1,消去y,整理得:(1+4ki2)x2+(43ki-8ki2)x+(4ki2-43ki-1)=0,設Mi(xi,yi),Ni(xi′,yi′),
則xi•1=4k2i43ki11+4k2i,則xi=4k2i43ki11+4k2i
將-ki代替ki,則xi′=4k2i+43ki11+4k2i
則xi+xi′=8k2i21+4k2i,xi-xi′=-83ki1+4k2i,yi-yi′=ki(xi-1)+32+ki(xi-1)-32=ki(xi+xi′)-2ki
=ki×8k2i21+4k2i-2ki,
=4ki1+4k2i
yiyixixi=4ki1+4k2i83ki1+4k2i=36,
kM1N1=kM2N2=…=kMnNn
∴M1N1∥M2N2∥…∥MnNn

點評 本題考查橢圓的標準方程,直線與橢圓的位置關系,考查韋達定理,直線的斜率公式,考查計算能力,屬于中檔題.

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