Question

已知向量

a

=（cos

3x

2

，sin

3x

2

），

b

=（cos

x

2

，-sin

x

2

），且x∈[

π

2

，π]．
（1）求

a

•

b

及|

a

+

b

|；
（2）求函數(shù)f（x）=

a

•

b

+|

a

+

b

|的最大值，并求使函數(shù)取得最大值時(shí)x的值．

Answer 1

考點(diǎn)：平面向量數(shù)量積的運(yùn)算

專題：三角函數(shù)的圖像與性質(zhì),平面向量及應(yīng)用

分析：（1）利用數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算、兩角和差的余弦公式可得

a

•

b

=cos2x，由|

a

|=|

b

|=

cos2 x 2 +sin2 x 2

=1．可得|

a

+

b

|=

a 2+ b 2+2 a • b

．
（2）由（1）可得：函數(shù)f（x）=

a

•

b

+|

a

+

b

|=cos2x-2cosx=2(cosx-

1

2

)2-

3

2

，利用二次函數(shù)、余弦函數(shù)的單調(diào)性即可得出．

解答： 解：（1）

a

•

b

=cos

3x

2

•cos

x

2

-sin

3x

2

•sin

x

2

=cos2x，
|

a

|=|

b

|=

cos2 x 2 +sin2 x 2

=1．
|

a

+

b

|=

a 2+ b 2+2 a • b

=

2+2cos2x

=2|cosx|，
∵x∈[

π

2

，π]，∴cosx≤0．
∴|

a

+

b

|═2cosx．
（2）由（1）可得：函數(shù)f（x）=

a

•

b

+|

a

+

b

|
=cos2x-2cosx
=2cos²x-2cosx-1
=2(cosx-

1

2

)2-

3

2

，
當(dāng)x=π，cosx=-1時(shí)，f（x）取得最大值3．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算、兩角和差的余弦公式、二次函數(shù)、余弦函數(shù)的單調(diào)性，考查了計(jì)算能力，屬于中檔題．