Question

已知函數(shù)f（x）=log_a

x+2

x-2

(a＞0，且a≠1）．
（Ⅰ）判斷函數(shù)f（x）的奇偶性，并證明你的結(jié)論；
（Ⅱ）當(dāng)0＜a＜1時(shí)，判斷函數(shù)f（x）在區(qū)間（2，+∞）上的單調(diào)性，并證明你的結(jié)論．

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)單調(diào)性的判斷與證明,函數(shù)奇偶性的判斷

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：本題（Ⅰ）利用函數(shù)的奇偶性定義加以判斷，得到本題結(jié)論；（Ⅱ）利用比哦單調(diào)性的定義加以判斷和證明，得到本題結(jié)論．

解答： 解：（Ⅰ）函數(shù)f（x）是奇函數(shù)．
證明如下：
由

2+x

x-2

＞0得（x+2）（x-2）＞0，
∴x＜-2或x＞2，
∴函數(shù)y=f（x）的定義域?yàn)椋?∞，-2）∪（2，+∞）．
任取x∈（-∞，-2）∪（2，+∞），
則-x∈（-∞，-2）∪（2，+∞），
∵f(-x)=loga

-x+2

-x-2

=loga

x-2

x+2

=loga(

x+2

x-2

)-1=-loga

x+2

x-2

=-f(x)
∴函數(shù)f（x）是奇函數(shù)．
（Ⅱ）任取x₁，x₂∈（2，+∞），且x₁＜x₂
∴f(x1)-f(x2)=loga

x1+2

x1-2

-loga

x2+2

x2-2

=loga

(x1+2)(x2-2)

(x1-2)(x2+2)

，
∵

(x1+2)(x2-2)

(x1-2)(x2+2)

-1=

(x1+2)(x2-2)-(x1-2)(x2+2)

(x1-2)(x2+2)

=

4(x2-x1)

(x1-2)(x2-2)

，
∵2＜x₁＜x₂+∞，
∴x₁-2＞0，x₂-2＞0，x₂-x₁＞0，
∴

4(x2-x1)

(x1-2)(x2-2)

＞0，即

(x1+2)(x2-2)

(x1-2)(x2+2)

＞1．
又∵0＜a＜1，
∴loga

(x1+2)(x2-2)

(x1-2)(x2+2)

＜loga1=0，即f（x₁）＜f（x₂）．
∴函數(shù)f（x）在（2，+∞）上單調(diào)遞增．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性，本題難度不大，屬于基礎(chǔ)題．