Question

15．已知f（x）=$\frac{x}{1+x}$，設(shè)f₁（x）=f（x），f_n（x）=f_n-1[f₁（x）]，n=1，2，3…
（Ⅰ）求f₂（x），f₃（x）的表達式；
（Ⅱ）猜想f_n（x）的表達式；并用數(shù)學(xué)歸納法證明．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用已知條件直接求f₂（x），f₃（x）的表達式；
（Ⅱ）猜想表達式，利用數(shù)學(xué)歸納法的證明步驟證明即可．

解答 解：（Ⅰ）f（x）=$\frac{x}{1+x}$，設(shè)f₁（x）=f（x），f_n（x）=f_n-1[f₁（x）]，n=1，2，3…
f₂（x）=f₁[f₁（x）]=f（$\frac{x}{1+x}$）=$\frac{\frac{x}{1+x}}{1+\frac{x}{1+x}}$=$\frac{x}{1+2x}$，
f₃（x）=f₂（f₁（x））=$\frac{\frac{x}{1+2x}}{1+\frac{x}{1+2x}}$=$\frac{x}{1+3x}$；
（Ⅱ）猜想f_n（x）=$\frac{x}{1+nx}$；
①當n=1，2時，（Ⅰ）已經(jīng)證明；
②當n=k（k≥2）時，f_k（x）=$\frac{x}{1+kx}$，
則：f_k+1（x）=f_k[f₁（x）]=$\frac{{f}_{1}（x）}{1+k{f}_{1}（x）}$=$\frac{\frac{x}{1+x}}{1+k\frac{x}{1+x}}$=$\frac{x}{1+（k+1）x}$，
即n=k+1時，猜想也成立．
由①②可知．猜想成立．

點評 本題考查數(shù)學(xué)歸納法的應(yīng)用，考查轉(zhuǎn)化思想以及計算能力．