Question

6．對于定義域為D的函數(shù)f（x），如果滿足存在區(qū)間[a，b]⊆D使得f（x）在區(qū)間[a，b]上的值域為[ka，kb]（k∈N^*），那么函數(shù)f（x）叫做[a，b]上的“k級矩形”函數(shù)．
（1）設函數(shù)f（x）=x³（x∈R）是[a，b]上的“1級矩形”函數(shù)，求常數(shù)a，b的值；
（2）證明：函數(shù)g（x）=$\frac{1}{x+2}$（x＞-2）不是“k級矩形”函數(shù)．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)題意f（x）=x³的定義域和值域都是[a，b]，而該函數(shù)為增函數(shù)，從而可得到$\left\{\begin{array}{l}{f（a）=a}\\{f（b）=b}\end{array}\right.$，這便看出a，b為方程x³=x的不等實根，且a＜b，從而便可求出a，b的值；
（2）可考慮反證法：假設g（x）=$\frac{1}{x+2}$（x＞-2）為“k級矩形“函數(shù)，而看出g（x）在（-2，+∞）上為減函數(shù)，從而有$\left\{\begin{array}{l}{\frac{1}{a+2}=kb}\\{\frac{1}{b+2}=ka}\end{array}\right.$，可知g（x）≠0，從而ab≠0，這樣這兩式相除即可求得a=b，這便與a＜b矛盾，說明假設不成立，從而得出結(jié)論成立．

解答 解：（1）因為f（x）是“1級矩形”函數(shù)，所以f（x）在區(qū)間[a，b]上的值域也為[a，b]；
又因為f（x）在R上單調(diào)遞增，所以$\left\{\begin{array}{l}f（a）=a\\ f（b）=b\end{array}\right.$，即a，b為方程f（x）=x的兩個不等實數(shù)根；
由f（x）=x³=x知x=-1，x=0，x=1，又因為a＜b；
所以$\left\{\begin{array}{l}a=-1\\ b=0\end{array}\right.，\left\{\begin{array}{l}a=-1\\ b=1\end{array}\right.，\left\{\begin{array}{l}a=0\\ b=1\end{array}\right.$；
（2）證明：假設函數(shù)g（x）是“k級矩形”函數(shù)；
即存在區(qū)間[a，b]⊆（-2，+∞），使得g（x）的值域為[ka，kb]（k∈N^*）；
易知g（x）在（-2，+∞）單調(diào)遞減，所以$\left\{\begin{array}{l}f（a）=kb\\ f（b）=ka\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}{\frac{1}{a+2}=kb}\\{\frac{1}{b+2}=ka}\end{array}\right.$；
因為$g（x）=\frac{1}{x+2}≠0$，所以ab≠0；
兩式相除得：$\frac{b+2}{a+2}=\frac{a}$，即ab+2a=ab+2b，得a=b；
與a＜b相矛盾所以假設不成立，原命題成立．

點評 考查函數(shù)定義域、值域的概念，根據(jù)函數(shù)單調(diào)性求函數(shù)值域的方法，以及對“k級矩形”函數(shù)的理解，清楚函數(shù)f（x）=x³和$g（x）=\frac{1}{x+2}$函數(shù)的單調(diào)性，以及反證法在證明一個結(jié)論成立時的運用．