Question

17．已知等差數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，滿足S₄=4（a₃+1），3a₃=5a₄．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）求數(shù)列{|a_n|}的前n項(xiàng)和為T_n．

Answer 1

分析 （ 1）通過令等差數(shù)列{a_n}的公差為d，聯(lián)立S₄=4（a₃+1）、3a₃=5a₄，計(jì)算可得首項(xiàng)和公差，
（2）通過（1）知，則${S_n}=10n-{n^2}$，分n≤5與n≥6兩種情況討論即可．

解答 解：（1）令等差數(shù)列{a_n}的公差為d
由題意可求得$\left\{{\begin{array}{l}{4{a_1}+6d=4（{a_1}+2d+1）}\\{3（{a_1}+2d）=5（{a_1}+3d）}\end{array}}\right.$，
解得a₁=9，d=-2，
所以a_n=11-2n．
（2）設(shè){a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，則${S_n}=10n-{n^2}$，
設(shè){|a_n|}的前n項(xiàng)和為T_n，
當(dāng)n≤5時(shí)，${a_n}＞0，{T_n}={S_n}=10n-{n^2}$，
當(dāng)n≥6時(shí)，${T_n}={S_5}-{a_6}-{a_7}-…-{a_n}={S_5}-（{S_n}-{S_5}）=2{S_5}-{S_n}={n^2}-10n+50$
綜上得${T_n}=\left\{\begin{array}{l}10n-{n^2}，n≤5\\{n^2}-10n+50，n≥6\end{array}\right.$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查數(shù)列的通項(xiàng)及前n項(xiàng)和，考查分類討論的思想，注意解題方法的積累，屬于中檔題．