Question

已知函數f（x）=-x+ln．
（Ⅰ）求函數的定義域，并求f（）+f（-）的值；
（Ⅱ）若常數a∈（-1，1），當x∈[-a，a]時，f（x）是否存在最小值，若存在，求出最小值； 若不存在，請說明理由．

Answer 1

解（1）由＞0得-1＜x＜1，∴函數f（x）的定義域是（-1，1）
∵f（-x）=x+ln，-f（x）=x-ln=x+ln．
∴f（x）是定義在（-1，1）上的奇函數
∴f（）+f（-）=0
（2）y=ln=ln（-1+），
∵e≈2.71828＞1，t=-1+是（-1，1）上的減函數，
∴y=ln是（-1，1）上的減函數，
又∵y=-x是（-1，1）上的減函數，
∴函數f（x）=-x+ln是（-1，1）上的減函數，而[-a，a]⊆（-1，1）
因此，當x∈[-a，a]時，f（x）是減函數，可得f（x）的最小值為f（a）=-a+ln．
分析：（1）根據對數的真數大于0，解分式為等式可得函數f（x）的定義域．再驗證函數的奇偶性，得到函數是（-1，1）上的奇函數，可得f（）+f（-）的值；
（2）討論函數的單調性，得到當x∈[-a，a]時，f（x）是減函數，由此不難得到f（x）的最小值．
點評：本題給出含有對數的基本初等函數，求函數的定義域并求它在閉區(qū)間上的最小值，著重考查了對數函數的單調性、函數的奇偶性和函數定義域求法等知識，屬于基礎題．