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12.如圖,在平面直角坐標系xOy中,x軸在地平面上,y軸垂直于地面,x軸、y軸上的單位長度都為1km,某炮位于坐標原點處,炮彈發(fā)射后,其路徑為拋物線y=kx-$\frac{1}{20}(1+{k^2}){x^2}$的一部分,其中k與炮彈的發(fā)射角有關且k>0.
(1)當k=1時,求炮彈的射程;
(2)對任意正數k,求炮彈能擊中的飛行物的高度h的取值范圍;
(3)設一飛行物(忽略大。┑母叨葹4km,試求它的橫坐標a不超過多少km時,炮彈可以擊中它.(答案精確到0.1,$\sqrt{5}$取2.236)

分析 (1)當k=1時,炮彈發(fā)射路徑為$y=x-\frac{1}{10}{x^2}$,求出函數的零點,可得答案;
(2)根據二次函數的性質,求出最大高度的表達式,利用配方法可得h的取值范圍;
(3)炮彈可以擊中目標可化為:關于k的方程a2k2-20ak+a2+80=0有正解,由韋達定理,可得a的范圍.

解答 解:(1)當k=1時,
炮彈發(fā)射路徑為$y=x-\frac{1}{10}{x^2}$,
令y=0,解得x=0或10,
∴炮彈的射程為10km.…(4分)
(2)拋物線$y=kx-\frac{1}{20}(1+{k^2}){x^2}(k>0)$開口向下,
對稱軸$x=-\frac{k}{{-\frac{1}{10}(1+{k^2})}}=\frac{10k}{{1+{k^2}}}$,
∴${y_{max}}=-\frac{1}{20}(1+{k^2}){(\frac{10k}{{1+{k^2}}})^2}+k(\frac{10k}{{1+{k^2}}})=\frac{{5{k^2}}}{{1+{k^2}}}=5-\frac{5}{{1+{k^2}}}<5$,
∴炮彈能擊中的飛行物的高度h的范圍是(0,5).                         …(9分)
(3)∵飛行物的高度為4km,它的橫坐標a,
∴$4=ka-\frac{1}{20}(1+{k^2}){a^2}$,
整理得關于k的方程a2k2-20ak+a2+80=0有正解,…(11分)
顯然a=0不滿足方程a2k2-20ak+a2+80=0,
∴${k_1}+{k_2}=\frac{20}{a}$,${k_1}{k_2}=\frac{{{a^2}+80}}{a^2}>0$,
當a<0,k1,k2<0,不符題意,
∴a>0,k1,k2>0…(13分)
∴△=400a2-4a2(a2+80)≥0,解得$0<a≤2\sqrt{5}$,
∴飛行物的橫坐標a不超過$2\sqrt{5}$km,約4.5km.                       …(16分)
(說明:過程不嚴密的適當扣分)

點評 本題考查的知識點是二次函數的圖象和性質,熟練掌握二次函數的圖象和性質,是解答的關鍵.

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