分析 (Ⅰ)函數(shù)f(x)的定義域?yàn)椋?,+∞),f′(x)=ax−2+2x=ax2−2x+2x;
分①當(dāng)a=0,②當(dāng)a>0討論單調(diào)性.
(Ⅱ) a=0時(shí),f(x)=-2x+2lnx,求出g(x),g(x)在[1e,e]上的值域,可得使|g(x2)-f(x1)|<e2+4e成立?對(duì)任意x1,x2∈[1e,e],使|g(x)max-f(x)min|<e2+4e成立.即可得b的取值范圍
解答 解:(Ⅰ)函數(shù)f(x)的定義域?yàn)椋?,+∞),f′(x)=ax−2+2x=ax2−2x+2x;
①當(dāng)a=0時(shí),f′(x)=−2x+2x,x∈(0,1)時(shí),f′(x)>,x∈(1,+∞)時(shí),f′(x)<0;
∴函數(shù)f(x)的增區(qū)間為(0,1),減區(qū)間為(1,+∞).
②當(dāng)a>0時(shí),方程ax2-2x+2=0的△=4-8a,
當(dāng)△=4-8a≤0,即≥12時(shí),f′(x)≥0恒成立,此時(shí)函數(shù)f(x)的增區(qū)間為(0,+∞),
當(dāng)△=4-8a>0,即0<a<12時(shí),方程ax2-2x+2=0的兩根x1,x2滿足x1+x2=2a>0,x1x2>0,∴x1>0,x2>0
x1=2+√4−8a2a=1+√1−2aa,x2=1−√1−2aa
x∈(0,x2),(x1,+∞)時(shí),f′(x)>0,x∈(x2,x1)時(shí),f′(x)<0,
此時(shí)函數(shù)的增區(qū)間為:(0,x2),(x1,+∞),減區(qū)間為:(x2,x1).
(Ⅱ) a=0時(shí),f(x)=-2x+2lnx,由(Ⅰ)得函數(shù)f(x)的增區(qū)間為(0,1),減區(qū)間為(1,+∞),
x∈[1e,e]時(shí),f(x)max=f(1)=-2,f(x)min=min{f(1e),f(e)}=-2e+2.
x∈[1e,e]時(shí),g(x)=x2+b,(b>0)單調(diào)遞增,1e2+b≤g(x)≤e2+b.
對(duì)任意x1,x2∈[1e,e],使|g(x2)-f(x1)|<e2+4e成立?對(duì)任意x1,x2∈[1e,e],使|g(x)max-f(x)min|<e2+4e成立.
∴<e2+b-(-2e+2)<e2+4e成立.解得b<2e+2
所以b的取值范圍為(0,2e+2)
點(diǎn)評(píng) 本題考查了導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用,分類討論思想,函數(shù)中的任意性問題的轉(zhuǎn)化,屬于中檔題.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:選擇題
A. | 命題“若a>1,則a2>1”的否命題為:“若a>1,則a2≤1” | |
B. | 命題“?x0>1,使得-x02+2x0-1≥0”的否定“?x≤1,使得-x2+2x-1<0” | |
C. | “x>-1”是“1x<−1”成立的必要不充分條件 | |
D. | 正弦函數(shù)是奇函數(shù),f(x)=sin(x2+1)是正弦函數(shù),所以f(x)=sin(x2+1)是奇函數(shù),上述推理錯(cuò)誤的原因是大前提不正確 |
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:選擇題
A. | 銳角三角形 | B. | 鈍角三角形 | C. | 直角三角形 | D. | 等腰三角形 |
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:選擇題
A. | 1個(gè) | B. | 2個(gè) | C. | 3個(gè) | D. | 4個(gè) |
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:選擇題
A. | 0 | B. | 10 | C. | 5 | D. | 55 |
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