Question

2．設(shè)k是一個正整數(shù)，（1+$\frac{x}{k}$）^k的展開式中第四項的系數(shù)為$\frac{1}{16}$，記函數(shù)$y=\sqrt{8x-{x^2}}$與$y=\frac{1}{4}kx$的圖象所圍成的陰影部分為S，任取x∈[0，4]，y∈[0，4]，則點（x，y）恰好落在陰影區(qū)域S內(nèi)的概率是（　�。�

• A． $\frac{π}{4}$
• B． $\frac{1}{2}$
• C． $1-\frac{π}{4}$
• D． $\frac{π}{4}-\frac{1}{2}$

Answer 1

分析 先利用二項式定理求出k值，再利用圓的面積公式求陰影部分的面積，然后利用幾何概型的概率公式解答．

解答 解：根據(jù)題意得 ${C}_{k}^{3}•（\frac{1}{k}）^{3}$=$\frac{1}{16}$，
解得：k=4或 k=$\frac{4}{5}$（舍去）
解方程組$\left\{\begin{array}{l}{y=\sqrt{8x-{x}^{2}}}\\{y=x}\end{array}\right.$，
解得：x=0或4
∴陰影部分的面積為$\frac{1}{4}π•{4}^{2}-\frac{1}{2}×4×4$=4π-8
任取x∈[0，4]，y∈[0，4]，則點（x，y）對應 區(qū)域面積為4×4=16，
由幾何概型概率求法得點（x，y）恰好落在陰影區(qū)域內(nèi)的概率為$\frac{4π-8}{16}$=$\frac{π}{4}-\frac{1}{2}$
故選D．

點評 本題主要考查了二項式定理和幾何概型的概率求法，考查學生的計算能力，屬于中檔題．