16.正三棱柱ABC-A1B1C1底面△ABC的邊長(zhǎng)為3,此三棱柱的外接球的半徑為$\sqrt{7}$,則異面直線AB1與BC1所成角的余弦值為$\frac{23}{50}$.

分析 先根據(jù)題意畫(huà)出圖形,再設(shè)三棱柱外接球的球半徑為r,利用在直角三角形ADO中的邊的關(guān)系求出正三棱本的高,作出空間直角坐標(biāo)系,利用向量法能求出異面直線AB1與BC1所成角的余弦值.

解答 解:設(shè)三棱柱外接球的球心為O,球半徑為r,
三棱柱的底面三角形ABC的中心為D,如圖,
∵正三棱柱ABC-A1B1C1底面△ABC的邊長(zhǎng)為3,此三棱柱的外接球的半徑為$\sqrt{7}$,
∴OA=$\sqrt{7}$,AD=$\frac{2}{3}×\sqrt{{3}^{2}-(\frac{3}{2})^{2}}$=$\sqrt{3}$,
∴OD=$\sqrt{7-3}$=2,∴AA1=4,
以A為原點(diǎn),以過(guò)A在平面ABC中作AC的垂線為x軸,以AC為y軸,AA1為z軸,
建立空間直角坐標(biāo)系,
A(0,0,0),B($\frac{3\sqrt{3}}{2}$,$\frac{3}{2}$,0),
B1($\frac{3\sqrt{3}}{2}$,$\frac{3}{2}$,4),C1(0,3,4),
$\overrightarrow{A{B}_{1}}$=($\frac{3\sqrt{3}}{2}$,$\frac{3}{2}$,4),$\overrightarrow{B{C}_{1}}$=(-$\frac{3\sqrt{3}}{2}$,$\frac{3}{2}$,4),
設(shè)異面直線AB1與BC1所成角為θ,
則cosθ=$\frac{|\overrightarrow{A{B}_{1}}•\overrightarrow{B{C}_{1}}|}{|\overrightarrow{A{B}_{1}}|•|\overrightarrow{B{C}_{1}}|}$=$\frac{\frac{23}{2}}{25}$=$\frac{23}{50}$.
∴異面直線AB1與BC1所成角的余弦值為$\frac{23}{50}$.
故答案為:$\frac{23}{50}$.

點(diǎn)評(píng) 本題考查三棱錐、球、空間中線線、線面間的相互關(guān)系等基礎(chǔ)知識(shí),考查推理論證能力、運(yùn)算求解能力、空間想象能力,考查數(shù)形結(jié)合思想、化歸與轉(zhuǎn)化思想,考查創(chuàng)新意識(shí)、應(yīng)用意識(shí),是中檔題.

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