Question

17．將直角三角形ABC沿斜邊上的高AD折成120°的二面角，已知直角邊AB=4$\sqrt{3}$，AC=4$\sqrt{6}$，那么下面說(shuō)法正確的是（　�。�

• A． 平面ABC⊥平面ACD
• B． 四面體D-ABC的體積是$\frac{16}{3}\sqrt{6}$
• C． 二面角A-BC-D的正切值是$\frac{{\sqrt{42}}}{5}$
• D． BC與平面ACD所成角的正弦值是$\frac{{\sqrt{21}}}{14}$

Answer 1

分析 A，如圖，由題意可知∠BDC為B-AD-C的平面角，即∠BDC=120°，即可判斷；
B，四面體D-ABC的體積V=$\frac{1}{3}×{s}_{△BCD}×AD$；
C，根據(jù)題意先利用直角三角形求出AD，BD，DC，再利用余弦定理求出BC，利用面積法求出DF，利用定義證明∠AFD為二面角A-BC-D的平面角，在三角形ADF中求出此角即可．
D．過(guò)O作BO垂直BO⊥CO于O，則∠BCO就是BC與平面ACD所成角．

解答 解：對(duì)于A，如圖，由題意可知∠BDC為B-AD-C的平面角，即∠BDC=120°，故平面ABC⊥平面ACD不成立．
對(duì)于B，四面體D-ABC的體積V=$\frac{1}{3}×{s}_{△BCD}×AD$≠$\frac{16}{3}\sqrt{6}$，故錯(cuò)；
對(duì)于C，如圖，由題意可知∠BDC為B-AD-C的平面角，即∠BDC=120°，作DF⊥BC于F，連結(jié)AF，
AF=$\frac{4\sqrt{21}}{7}$，BD=4，DC=8，AD=4$\sqrt{2}$，∴∠AFD為二面角A-BC-D的平面角，tan∠AFD=$\frac{\sqrt{42}}{3}$．
對(duì)于D，如圖，由題意可知∠BDC為B-AD-C的平面角，即∠BDC=120°，作DF⊥BC于F，連結(jié)AF，
AF=$\frac{4\sqrt{21}}{7}$，BD=4，DC=8，AD=4，過(guò)O作BO垂直BO⊥CO于O，則∠BCO就是BC與平面ACD所成角，
BO=2$\sqrt{3}$，OD=2，BC=$\sqrt{B{O}^{2}+C{O}^{2}}=4\sqrt{7}$，sin∠BCO=$\frac{BO}{BC}=\frac{2\sqrt{3}}{4\sqrt{7}}=\frac{\sqrt{21}}{14}$．
故選：D

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了平面與平面之間的位置關(guān)系，考查空間想象能力、運(yùn)算能力和推理論證能力，屬于中檔題．