Question

6．已知函數(shù)$f（x）=\left\{\begin{array}{l}{log_2}（{{x^2}+x+a}），x≥1\\ 1-{x^2}，x＜1\end{array}\right.$的值域?yàn)镽，則常數(shù)a的取值范圍是（　�。�

• A． [0，+∞）
• B． （-2，-1]
• C． （-2，0]
• D． （-∞，0]

Answer 1

分析 利用分段函數(shù)，通過函數(shù)的值域范圍，列出不等式求解即可．

解答 解：函數(shù)$f（x）=\left\{\begin{array}{l}{log_2}（{{x^2}+x+a}），x≥1\\ 1-{x^2}，x＜1\end{array}\right.$，
當(dāng)x＜1時(shí)，f（x）=1-x²≤1，
∴x≥1時(shí)，f（x）=$lo{g}_{2}（{x}^{2}+x+a）$的最小值小于1，
因?yàn)閥=x²+x+a的開口向上，對稱軸為x=$-\frac{1}{2}$，當(dāng)x≥1時(shí)，函數(shù)是增函數(shù)，最小值為：f（1）=2+a．
可得：log₂（2+a）≤1，解得a∈（-2，0]．
故選：C．

點(diǎn)評 本題考查分段函數(shù)的應(yīng)用，函數(shù)的值域以及二次函數(shù)的單調(diào)性最值的求法，考查轉(zhuǎn)化思想以及計(jì)算能力．