Question

7．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，曲線C₁：$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{\sqrt{3}}{2}t}\\{y=\frac{1}{2}t}\end{array}\right.$（t為參數(shù)），在以O(shè)為極點，x軸正半軸為極軸的極坐標(biāo)系中，曲線C₂：ρ=2sinθ，曲線C₃：ρ=2$\sqrt{3}$cosθ．
（Ⅰ）求曲線C₁的極坐標(biāo)方程；
（Ⅱ）若曲線C₁分別與曲線C₂、C₃相交于點A、B（A、B均異于原點O），求|AB|的值．

Answer 1

分析 （I）曲線C₁：$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{\sqrt{3}}{2}t}\\{y=\frac{1}{2}t}\end{array}\right.$（t為參數(shù)），可得普通方程，進(jìn)而得到極坐標(biāo)方程：θ=$\frac{π}{6}$（ρ∈R）．
（II）把θ=$\frac{π}{6}$代入曲線C₂：ρ=2sinθ，可得ρ₁．把θ=$\frac{π}{6}$代入曲線C₃：ρ=2$\sqrt{3}$cosθ，可得ρ₂．可得|AB|=|ρ₂-ρ₁|．

解答 解：（I）曲線C₁：$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{\sqrt{3}}{2}t}\\{y=\frac{1}{2}t}\end{array}\right.$（t為參數(shù)），可得普通方程：$x=\sqrt{3}y$，可得極坐標(biāo)方程：θ=$\frac{π}{6}$（ρ∈R）．
（II）把θ=$\frac{π}{6}$代入曲線C₂：ρ=2sinθ，可得ρ₁=2$sin\frac{π}{6}$=1．
把θ=$\frac{π}{6}$代入曲線C₃：ρ=2$\sqrt{3}$cosθ，可得ρ₂=2$\sqrt{3}×cos\frac{π}{6}$=3．
∴|AB|=|ρ₂-ρ₁=2．

點評 本題考查了極坐標(biāo)方程的應(yīng)用、參數(shù)方程化為普通方程、弦長公式，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．