Question

12．已知雙曲線$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1（{a＞0，b＞0}）$的半焦距為c，過右焦點且斜率為1的直線與雙曲線的右支交于兩點，若拋物線y²=4cx的準(zhǔn)線被雙曲線截得的弦長是$\frac{{2\sqrt{2}}}{3}b{e^2}$（e為雙曲線的離心率），則e的值為$\frac{{\sqrt{6}}}{2}$．

Answer 1

分析 求出拋物線的準(zhǔn)線，根據(jù)準(zhǔn)線和雙曲線相交的弦長關(guān)系建立方程，得出a和c的關(guān)系，從而求出離心率的值．

解答 解：∵拋物線y²=4cx的準(zhǔn)線：x=-c，它正好經(jīng)過雙曲線C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）的左焦點，
∴當(dāng)x=-c時，$\frac{{c}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1，即$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=$\frac{{c}^{2}}{{a}^{2}}$-1=$\frac{{c}^{2}-{a}^{2}}{{a}^{2}}$=$\frac{^{2}}{{a}^{2}}$，即y=±$\frac{^{2}}{a}$，
即準(zhǔn)線被雙曲線C截得的弦長為：$\frac{2^{2}}{a}$，
∵拋物線y²=4cx的準(zhǔn)線被雙曲線截得的弦長是$\frac{{2\sqrt{2}}}{3}b{e^2}$，
∴$\frac{2^{2}}{a}$=$\frac{2\sqrt{2}}{3}$be²，
即：$\sqrt{2}$c²=3ab，
∴2c⁴=9a²（c²-a²），
∴2e⁴-9e²+9=0
∴e=$\frac{\sqrt{6}}{2}$或$\sqrt{3}$，
又過焦點且斜率為1的直線與雙曲線的右支交于兩點，
∴漸近線y=$\frac{a}$x的斜率$\frac{a}$＜1，
即b＜c，則b²＜c²，
即c²-a²＜a²，
則c²＜2a²，
c＜$\sqrt{2}$a，
則e=$\frac{c}{a}$＜$\sqrt{2}$
∴e=$\frac{\sqrt{6}}{2}$．
故答案為：$\frac{{\sqrt{6}}}{2}$

點評 本題考查拋物線，雙曲線的方程和性質(zhì)，根據(jù)直線和雙曲線相交的弦長建立方程關(guān)系結(jié)合直線和漸近線斜率之間的關(guān)系是解決本題的關(guān)鍵．綜合性較強，有一定的難度，注意a，b，c的關(guān)系c²=a²+b²的關(guān)系的應(yīng)用．