Question

7．在△ABC中，A，B，C的對邊分別是 a，b，c已知 3acosA=ccosB+bcosC．
（Ⅰ）求 cosA 的值；
（Ⅱ）求$cos（2A+\frac{π}{3}）$的值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）在△ABC中，利用正弦定理與逆用兩角和的正弦可將3acosA=ccosB+bcosC化為3sinAcosA=sinA，從而可求cosA的值；
（Ⅱ）利用二倍角的余弦公式及三角函數(shù)間的平方關(guān)系可求得cos2A與sin2A的值，再利用兩角和的余弦即可求$cos（2A+\frac{π}{3}）$的值．

解答 解：（Ⅰ）在△ABC中，由3acosA=ccosB+bcosC，結(jié)合正弦定理得：3sinAcosA=sinCcosB+sinBcosC=sin（B+C）=sinA，
因?yàn)樵凇鰽BC中，sinA≠0，解得cosA=$\frac{1}{3}$，
故cosA的值為$\frac{1}{3}$；--------------------------------6；
（Ⅱ）因?yàn)閏os2A=2cos²A-1=-$\frac{7}{9}$，A為銳角，
所以，sin2A=$\sqrt{1-{cos}^{2}2A}$=$\frac{4\sqrt{2}}{9}$--------------------------------10；
所以，$cos（2A+\frac{π}{3}）$=cos2Acos$\frac{π}{3}$-sin2Asin$\frac{π}{3}$=$\frac{1}{2}$cos2A-$\frac{\sqrt{3}}{2}$sin2A
=-$\frac{7+4\sqrt{6}}{18}$-------------------------------13．

點(diǎn)評 本題考查三角函數(shù)的化簡求值，突出考查正弦定理的應(yīng)用，考查等價(jià)轉(zhuǎn)化思想與運(yùn)算求解能力，屬于中檔題．