Question

2．已知A_n（a_n，b_n）（n∈N^*）是曲線C：y=e^x上的點(diǎn)，設(shè)A₁（0，1），曲線C在A_n處的切線交x軸于點(diǎn)（a_n+1，0），則數(shù)列{b_n}的通項(xiàng)公式是b_n=e^1-n．

Answer 1

分析 求出y=e^x的導(dǎo)數(shù)，可得切線的斜率，運(yùn)用兩點(diǎn)的斜率公式，可得a_n+1-a_n=-1，再由等差數(shù)列的通項(xiàng)公式可得a_n=-（n-1）=1-n，代入函數(shù)表達(dá)式，可得b_n的通項(xiàng)公式．

解答 解：y=e^x的導(dǎo)數(shù)為y′=e^x，
可得曲線C在A_n處的切線斜率為k=e${\;}^{{a}_{n}}$，
由兩點(diǎn)的斜率公式可得k=$\frac{_{n}-0}{{a}_{n}-{a}_{n+1}}$=$\frac{{e}^{{a}_{n}}}{{a}_{n}-{a}_{n+1}}$=e${\;}^{{a}_{n}}$，
即為a_n+1-a_n=-1，
則{a_n}為首項(xiàng)為0，公差為-1的等差數(shù)列，
可得a_n=-（n-1）=1-n，
即有b_n=e^1-n．
故答案為：e^1-n．

點(diǎn)評(píng) 本題考查導(dǎo)數(shù)的運(yùn)用：求切線的斜率，同時(shí)考查兩點(diǎn)的斜率公式和等差數(shù)列的通項(xiàng)公式的運(yùn)用，考查運(yùn)算能力，屬于中檔題．