Question

15．已知$\overrightarrow a=（cosθ，sinθ），\overrightarrow b=（1，-1）-\frac{π}{2}≤θ≤\frac{π}{2}$
（1）當(dāng)$\overrightarrow a⊥\overrightarrow b$時，求θ值；
（2）求$|\overrightarrow a-\overrightarrow b|$的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）由$\overrightarrow a⊥\overrightarrow b$，得到$\overrightarrow{a}•\overrightarrow$=cosθ-sinθ=0，由此能求出θ的值．
（2）$\overrightarrow a-\overrightarrow b=（cosθ-1，sinθ+1）$，從而推導(dǎo)出|$\overrightarrow{a}-\overrightarrow$|=$\sqrt{3+2\sqrt{2}sin（θ-\frac{π}{4}）}$，由此能求出$|\overrightarrow a-\overrightarrow b|$的取值范圍．

解答 解：（1）∵$\overrightarrow a=（cosθ，sinθ），\overrightarrow b=（1，-1），-\frac{π}{2}≤θ≤\frac{π}{2}$，
$\overrightarrow a⊥\overrightarrow b$，
∴$\overrightarrow{a}•\overrightarrow$=cosθ-sinθ=0，∴tanθ=1，
∵-$\frac{π}{2}≤θ≤\frac{π}{2}$，∴$θ=\frac{π}{4}$．
（2）∵$\overrightarrow a-\overrightarrow b=（cosθ-1，sinθ+1）$，
∴$|\overrightarrow a-\overrightarrow b|=\sqrt{{{（cosθ-1）}^2}+{{（sinθ+1）}^2}}=\sqrt{3+2（sinθ-cosθ）}$
=$\sqrt{3+2\sqrt{2}sin（θ-\frac{π}{4}）}$，
∵$-\frac{π}{2}≤θ≤\frac{π}{2}$，∴$-\frac{3π}{4}≤θ-\frac{π}{4}≤\frac{π}{4}$，
∴$-1≤sin（θ-\frac{π}{4}）≤\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，
∴$\sqrt{2}-1≤|\overrightarrow a-\overrightarrow b|≤\sqrt{5}$，即$|\overrightarrow a-\overrightarrow b|$的取值范圍是[$\sqrt{2}-1，\sqrt{5}$]．

點(diǎn)評 本題考查角的求法，考查向量的模的示法，考查向量的坐標(biāo)運(yùn)算法則、向量垂直、向量的模、三角函數(shù)性質(zhì)等基礎(chǔ)知識，考查推理論證能力、運(yùn)算求解能力，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想、函數(shù)與方程思想，是基礎(chǔ)題．