Question

9．已知奇函數(shù)f（x）=log_a$\frac{b+ax}{1-ax}$，
（1）求b的值，并求出f（x）的定義域
（2）若存在區(qū)間[m，n]，使得當(dāng)x∈[m，n]時，f（x）的取值范圍為[log_a6m，log_a6n]，求a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）由已知f（x）+f（-x）=0，得b=1，即可求出f（x）的定義域；
（2）分類討論，利用函數(shù)的單調(diào)性，及當(dāng)x∈[m，n]時，f（x）的取值范圍為[log_a6m，log_a6n]，求a的取值范圍．

解答 解：（1）由已知f（x）+f（-x）=0，得b=1…（3分）
故$f（x）={log_a}\frac{1+ax}{1-ax}$，定義域為$（{-\frac{1}{a}，\frac{1}{a}}）$…（6分）
（2）當(dāng)0＜a＜1時，$f（x）={log_a}\frac{1+ax}{1-ax}={log_a}（{\frac{2}{1-ax}-1}）$在$（{-\frac{1}{a}，\frac{1}{a}}）$上單調(diào)遞減，
故有$\left\{\begin{array}{l}f（m）={log_a}\frac{1+am}{1-am}={log_a}6n\\ f（n）={log_a}\frac{1+an}{1-an}={log_a}6m\end{array}\right.$，而$y=\frac{1+ax}{1-ax}=（{\frac{2}{1-ax}-1}）$在$（{-\frac{1}{a}，\frac{1}{a}}）$上單調(diào)遞增，
所以$\frac{1+am}{1-am}＜\frac{1+an}{1-an}$又6m＜6n與 $\left\{\begin{array}{l}\frac{1+am}{1-am}=6n\\ \frac{1+an}{1-an}=6m\end{array}\right.$矛盾，
故a＞1…（8分）
所以$\left\{\begin{array}{l}f（m）={log_a}\frac{1+am}{1-am}={log_a}6m\\ f（n）={log_a}\frac{1+an}{1-an}={log_a}6n\end{array}\right.$，
故方程$\frac{1+ax}{1-ax}=6x$在$（{-\frac{1}{a}，\frac{1}{a}}）$上有兩個不等實根，
即6ax²+（a-6）x+1=0在$（{-\frac{1}{a}，\frac{1}{a}}）$上有兩個不等實根…（10分）
設(shè)g（x）=6ax²+（a-6）x+1，則$\left\{\begin{array}{l}△={（{a-6}）^2}-24a＞0\\-\frac{1}{a}＜-\frac{a-6}{12a}＜\frac{1}{a}\\ g（{-\frac{1}{a}}）=\frac{12}{a}＞0\\ g（{\frac{1}{a}}）=2＞0\end{array}\right.$…（12分）
$⇒\left\{\begin{array}{l}{a^2}-36a+36＞0\\ a＜18\end{array}\right.$$⇒a＜18-12\sqrt{2}$…（14分）
故$1＜a＜18-12\sqrt{2}$…（15分）

點評 本題考查的知識點是對數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)，熟練掌握對數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)，是解答的關(guān)鍵．