Question

20．設(shè)f'（x）是函數(shù)f（x）在R的導(dǎo)函數(shù)，對(duì)?x∈R，f（-x）+f（x）=x²，且?x∈[0，+∞），f'（x）＞x．若f（2-a）-f（a）≥2-2a，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為（-∞，1]．

Answer 1

分析 可構(gòu)造函數(shù)g（x）=f（x）-$\frac{1}{2}$x²，由g（-x）+g（x）=0，可得函數(shù)g（x）為奇函數(shù)．利用導(dǎo)數(shù)可得函數(shù)g（x）在R上是增函數(shù)，f（2-a）-f（a）≥2-2a，即g（2-a）≥g（a），可得 2-a≥a，由此解得a的范圍．

解答 解：∵f（-x）+f（x）=x²，
∴f（x）-$\frac{1}{2}$x² +f（-x）-$\frac{1}{2}$x² =0，
令g（x）=f（x）-$\frac{1}{2}$x²，
∵g（-x）+g（x）=f（-x）-$\frac{1}{2}$x²+f（x）-$\frac{1}{2}$x²=0，
∴函數(shù)g（x）為奇函數(shù)．
∵x∈（0，+∞）時(shí)，f′（x）＞x．
∴x∈（0，+∞）時(shí)，g′（x）=f′（x）-x＞0，
故函數(shù)g（x）在（0，+∞）上是增函數(shù)，
故函數(shù)g（x）在（-∞，0）上也是增函數(shù)，
由f（0）=0，可得g（x）在R上是增函數(shù)．
f（2-a）-f（a）≥2-2a，等價(jià)于f（2-a）-$\frac{（2-a）^{2}}{2}$≥f（a）-$\frac{{a}^{2}}{2}$，
即g（2-a）≥g（a），
∴2-a≥a，解得a≤1．
故答案為：（-∞，1]．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，然后構(gòu)造出關(guān)于a的不等式求解的思路，本題的關(guān)鍵是由已知條件構(gòu)造出關(guān)于函數(shù)g（x）=f（x）-$\frac{1}{2}$x²，然后結(jié)合其奇偶性解題是本題的關(guān)鍵．