Question

18．在△ABC中，內(nèi)角A、B、C的對邊分別是a、b、c，且a²=b²+c²+$\sqrt{3}$ab．
（Ⅰ）求A；
（Ⅱ）設(shè)a=$\sqrt{3}$，S為△ABC的面積，求S+3cosBcosC的最大值，并指出此時B的值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用余弦定理表示出cosA，將已知等式代入計算求出cosA的值，即可確定出A的度數(shù)；
（Ⅱ）利用正弦定理列出關(guān)系式，將a與sinA的值代入表示出b與csinA，利用三角形面積公式表示出S，代入所求式子中，利用兩角和與差的余弦函數(shù)公式化簡，根據(jù)余弦函數(shù)的性質(zhì)即可確定出最大值以及此時B的值．

解答 解：（Ⅰ）在△ABC中，∵a²=b²+c²+$\sqrt{3}$ab，即b²+c²-a²=-$\sqrt{3}$bc，
∴cosA=$\frac{^{2}+{c}^{2}-{a}^{2}}{2bc}$=-$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
則A=$\frac{5π}{6}$；
（Ⅱ）∵a=$\sqrt{3}$，sinA=$\frac{1}{2}$，
∴由正弦定理得：b=$\frac{asinB}{sinA}$，csinA=asinC，
∴S=$\frac{1}{2}$bcsinA=$\frac{1}{2}$•$\frac{asinB}{sinA}$•asinC=3sinBsinC，
∴S+3cosBcosC=3sinBsinC+3cosBcosC=3cos（B-C），
∴當(dāng)B-C=0，即B=C=$\frac{π-A}{2}$=$\frac{π}{12}$時，S+3cosBcosC取得最大值為3．

點評 此題考查了正弦、余弦定理，以及三角形的面積公式，熟練掌握定理及公式是解本題的關(guān)鍵，屬于中檔題．