Question

16．將函數(shù)f（x）=cos（x+φ）的圖象上每點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短為原來的$\frac{1}{2}$倍（縱坐標(biāo)不變），再將所得的圖象向左平移$\frac{π}{6}$個(gè)單位長度后得到的圖象關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)對(duì)稱，則下列直線中是函數(shù)f（x）圖象的對(duì)稱軸的是（　�。�

• A． x=-$\frac{π}{6}$
• B． x=$\frac{π}{3}$
• C． x=-$\frac{5π}{12}$
• D． x=$\frac{π}{12}$

Answer 1

分析 根據(jù)函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象變換規(guī)律可求變換后的圖象對(duì)應(yīng)的解析式為y=cos（2x+$\frac{π}{3}$+φ），由圖象關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)對(duì)稱，可得φ=kπ+$\frac{π}{6}$，k∈Z，從而可求f（x）的對(duì)稱軸方程為x=（m-k）π-$\frac{π}{6}$，m，k∈Z，進(jìn)而得解．

解答 解：將函數(shù)f（x）=cos（x+φ）的圖象上每點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短為原來的$\frac{1}{2}$倍（縱坐標(biāo)不變），
可得函數(shù)的解析式為y=cos（2x+φ），
再將所得的圖象向左平移$\frac{π}{6}$個(gè)單位長度后得到的圖象對(duì)應(yīng)的解析式為：y=cos（2x+$\frac{π}{3}$+φ），
∵所得的圖象關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)對(duì)稱，
∴y=cos（2x+$\frac{π}{3}$+φ）為奇函數(shù)，
∴$\frac{π}{3}$+φ=kπ+$\frac{π}{2}$，k∈Z，
∴φ=kπ+$\frac{π}{6}$，k∈Z．
∴f（x）=cos（x+kπ+$\frac{π}{6}$），k∈Z．
∴x+kπ+$\frac{π}{6}$=mπ，m∈Z，解得：x=（m-k）π-$\frac{π}{6}$，m，k∈Z，
∴當(dāng)m=k時(shí)，x=-$\frac{π}{6}$是f（x）的一條對(duì)稱軸．
故選：A．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象變換規(guī)律，考查了余弦函數(shù)的對(duì)稱性，考查學(xué)生的計(jì)算能力，屬于中檔題．