Question

（08年吉林一中理）（12分） 對于各項為正數的數列，如果<對一切都成立，那么數列叫做增比數列。

（Ⅰ）當且是增比數列時，求的取值范圍；

（Ⅱ）設是增比數列，互不相等的正整數成等差數列，試判斷與的大小關系，并證明你的結論。

 

Answer 1

解析：（Ⅰ）由是增比數列，知，

即

展開，即，

亦即。

由于，所以上式成立當且僅當。

所以的取值范圍是。

（Ⅱ）猜想，證明如下：

由，知。

不妨設，則，

因為是增比數列，所以，，

且

所以，，

又成等差數列，所以，

，從而。