Question

17．在銳角△ABC中，a，b，c分別為角A，B，C所對的邊，且$\sqrt{3}$c=2asinC．
（1）確定角A的大��；
（2）如果a=3，求△ABC周長的最大值．

Answer 1

分析 （1）由正弦定理結合sinC≠0，化簡已知可得sinA=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，結合A為銳角，可得A的值．
（2）由已知及正弦定理可得b=2$\sqrt{3}$sinB，c=2$\sqrt{3}$sinC，利用三角函數(shù)恒等變換的應用化簡可得a+b+c=6sin（B+$\frac{π}{6}$）+3，由范圍$\frac{π}{6}＜B＜\frac{π}{2}$，利用正弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)即可得解其最大值．

解答 （本題滿分為12分）
解：（1）在△ABC中，∵$\sqrt{3}$c=2asinC．
∴由正弦定理可得：$\sqrt{3}$sinC=2sinAsinC，…（3分）
又∵sinC≠0，
∴sinA=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∵A為銳角，可得A=$\frac{π}{3}$…（6分）
（2）由正弦定理可得：$\frac{a}{sinA}=\frac{sinB}=\frac{c}{sinC}$，
又$\frac{a}{sinA}=\frac{3}{sin\frac{π}{3}}=2\sqrt{3}$，
∴b=2$\sqrt{3}$sinB，c=2$\sqrt{3}$sinC，
∴a+b+c=3$+2\sqrt{3}sinB+2\sqrt{3}sinC$
=3+2$\sqrt{3}$sinB+2$\sqrt{3}$sin（$\frac{2π}{3}$-B）
=3+3$\sqrt{3}$sinB+3cosB
=6sin（B+$\frac{π}{6}$）+3，…（9分）
∵在銳角△ABC中，$\frac{π}{6}＜B＜\frac{π}{2}$，
∴$\frac{π}{3}$＜B+$\frac{π}{6}$＜$\frac{2π}{3}$，
∴當B+$\frac{π}{6}$=$\frac{π}{2}$時，即B=$\frac{π}{3}$時，a+b+c取最大值為9．
∴△ABC周長的最大值為9…（12分）

點評 本題主要考查了正弦定理，三角函數(shù)恒等變換的應用，正弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)在解三角形中的應用，考查了數(shù)形結合思想和轉(zhuǎn)化思想的應用，屬于中檔題．