Question

【題目】已知函數(shù)

（1）若函數(shù)在的切線與直線垂直，求的值；

（2）討論函數(shù)的單調(diào)性.

Answer 1

【答案】（1）1；（2）當(dāng)a≤0時(shí)，f (x)在(0,+∞)上單調(diào)遞增；當(dāng)a>0時(shí)，f(x)在(0,)上單調(diào)遞減，在(,+∞)上單調(diào)遞增.

【解析】

（1）由導(dǎo)數(shù)的幾何意義表示該點(diǎn)處切線的斜率，由其與已知直線垂直即斜率乘積為-1構(gòu)建方程解得答案；

（2）由解析式可知定義域?yàn)?/span>(0,+∞)，由(1)可知，當(dāng)a≤0時(shí)，顯然f'(x)>0，即可表示單調(diào)性；當(dāng)a>0時(shí)，令f'(x)=0解得兩根（舍）或，由二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)可得f'(x)<0與 f'(x)>0的解集，即可表示單調(diào)性.

（1）因?yàn)楹瘮?shù)，即

所以f(x)在(1,f(1))處的切線斜率為f'(1)=2-a.

又因?yàn)?/span>f(x)在(1,f(1))處的切線與直線y=2-x垂直,且直線y=2-x的額斜率為-1,

所以，故a=1.

（2）f (x)的定義域?yàn)?/span>(0,+∞)，且由(1)可知

因?yàn)?/span>有，當(dāng)a≤0時(shí)，顯然f'(x)>0，所以f(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞增；

當(dāng)a>0時(shí)，令f'(x)=0得，其判別式△=1+4a>0

該方程有兩個(gè)不等實(shí)根為（舍）或

令f'(x)<0解得0<x<；令f'(x)>0解得x>，

所以f(x)在(0,)上單調(diào)遞減，在(,+∞)上單調(diào)遞增

綜上所述，當(dāng)a≤0時(shí)，f (x)在(0,+∞)上單調(diào)遞增；當(dāng)a>0時(shí)，f(x)在(0,)上單調(diào)遞減，在(,+∞)上單調(diào)遞增.