Question

18．已知橢圓的焦點在y軸上，長軸長為10，短軸長為8，F(xiàn)₁、F₂為橢圓的左、右焦點．
（1）求橢圓的標準方程；
（2）求橢圓的焦點坐標、離心率；
（3）求以橢圓的焦點為頂點、頂點為焦點的雙曲線的標準方程．

Answer 1

分析 （1）由題意求得橢圓的長半軸和短半軸長，再由橢圓的焦點在y軸上可得橢圓的標準方程；
（2）由隱含條件求得c，則橢圓的焦點坐標、離心率可求；
（3）由題意求出雙曲線的頂點坐標和焦點為坐標，進而得到雙曲線的實半軸長和虛半軸長，則雙曲線的標準方程可求．

解答 解：（1）由已知2a=10，2b=8，解得a=5，b=4，
∵橢圓的焦點在y軸上，
∴所求橢圓的標準方程為$\frac{x^2}{16}+\frac{y^2}{25}=1$；
（2）由c²=a²-b²=9，得c=3．
因此橢圓的焦點坐標為F₁（0，-3），F(xiàn)₂（0，3），
離心率$e=\frac{c}{a}=\frac{3}{5}$；
（3）由已知，所求雙曲線的頂點坐標為（0，-3），（0，3），
焦點為坐標為（0，-5），（0，5），
∴雙曲線的實半軸長a=3，半焦距c=5，則虛半軸長為b=$\sqrt{{c}^{2}-{a}^{2}}=4$．
又雙曲線的焦點在y軸上，
∴雙曲線的標準方程為$\frac{y^2}{9}-\frac{x^2}{16}=1$．

點評 本題考查橢圓及雙曲線的簡單性質(zhì)，考查了橢圓及雙曲線標準方程的求法，是基礎(chǔ)題．