Question

設(shè)直線y=x+m與圓x²+y²=16交于不同的兩點(diǎn)M，N，且|

MN

|≥

3

|

OM

+

ON

|，其中O是坐標(biāo)原點(diǎn)，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：向量在幾何中的應(yīng)用,直線與圓的位置關(guān)系

專題：向量與圓錐曲線

分析：設(shè)MN的中點(diǎn)為A，則2

OA

=

OM

+

ON

，利用|

MN

|≥

3

|

OM

+

ON

|，可得|

MN

|≥2

3

|

OA

|，從而可得|

OA

|≤2，利用點(diǎn)到直線的距離公式，可得

m

2

≤2，即可求出實(shí)數(shù)m的取值范圍．

解答： 解：設(shè)MN的中點(diǎn)為A，則OA⊥MN，
并且2

OA

=

OM

+

ON

，
∵|

MN

|≥

3

|

OM

+

ON

|，
∴|

MN

|≥2

3

|

OA

|，∴|

OA

|≤2，
∴O到直線MN的距離

|m|

2

≤2，
解得-2

2

≤m≤2

2

．
故答案為：-2

2

≤m≤2

2

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了直線與圓的位置關(guān)系以及點(diǎn)到直線的距離問(wèn)題，關(guān)鍵是通過(guò)訓(xùn)練的運(yùn)算得到m的不等式解之．