Question

【題目】已知函數(shù).

（1）若在上單調(diào)遞增，求實數(shù)的取值范圍；

（2）若時，求證：對于任意的，均有.

Answer 1

【答案】(1);(2)證明過程見解析

【解析】

(1)求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)及二階導(dǎo)數(shù)，由二階導(dǎo)數(shù)的符號推出在上單調(diào)遞增，因此求出使的a的取值范圍即可；(2)對函數(shù)在上的單調(diào)性進行討論，證明其最小值非負即可證明對于任意的，均有.

（1）

，

，

當時，，，則，

所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，

若在上單調(diào)遞增，則在上恒成立，

所以；

（2）由(1)知，，

當時，恒成立，

當時，，此時；當時，，

當時，，此時，

所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，

而，則，，，

則函數(shù)在上有且僅有一個零點，設(shè)該零點為，

則時，，時，，

所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，上單調(diào)遞減，

因為，，

當時，，

當時，

因為，所以，

因為，所以時，，

即對任意的，均有.