Question

13．已知雙曲線M：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1和雙曲線N：$\frac{{y}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{x}^{2}}{^{2}}$=1，其中b＞a＞0，雙曲線M和雙曲線N交于A，B，C，D四個點，且四邊形ABCD的面積為4c²，則雙曲線M的離心率為（　�。�

• A． $\frac{\sqrt{5}+3}{2}$
• B． $\sqrt{5}$+3
• C． $\frac{\sqrt{5}+1}{2}$
• D． $\sqrt{5}$+1

Answer 1

分析 根據(jù)四邊形ABCD的面積為4c²，可得雙曲線M與N的交點在兩坐標軸上的射影恰好是兩雙曲線的焦點，得交點坐標為：（c，c），其中c是兩個雙曲線公共的半焦距．將點（c，c）代入雙曲線M（或雙曲線N）的方程，結(jié)合b²=c²-a²化簡整理，得e⁴-3e²+1=0，解之得到雙曲線M的離心率．

解答 解：雙曲線M：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1和雙曲線N：$\frac{{y}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{x}^{2}}{^{2}}$=1，
∴兩個雙曲線的焦距相等，
∵四邊形ABCD的面積為4c²，
∴雙曲線M與N的交點在兩坐標軸上的射影恰好是兩雙曲線的焦點，
∴交點坐標為：（c，c），代入雙曲線M（或雙曲線N）的方程，得：$\frac{{c}^{2}}{{a}^{2}}-\frac{{c}^{2}}{{c}^{2}-{a}^{2}}$=1，
去分母，得c²（c²-a²）-a²c²=a²（c²-a²），
整理，得c⁴-3a²c⁴+a⁴=0，所以e⁴-3e²+1=0，
∵e＞1，∴解之得e=$\frac{\sqrt{5}+1}{2}$，
故選C．

點評 本題給出兩個形狀相同，但焦點分別在x、y上的雙曲線，四邊形ABCD的面積為4c²，求該雙曲線的離心率，著重考查了雙曲線的簡單性質(zhì)與基本概念，屬于中檔題．