Question

10．已知函數(shù)f（x）=e^x-$\frac{1}{{e}^{|x|}}$．
（1）若f（x）=2，求x的值；
（2）若e^tf（2t）+mf（t）≥0對t∈[1，2]恒成立，求實數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）當x≤0時得到f（x）=0而f（x）=2，所以無解；當x＞0時解出f（x）=2求出x即可；
（2）由 t∈[1，2]時，e^tf（2t）+mf（t）≥0恒成立得到，得到f（t）=e^t-e^-t，代入得到m的范圍即可．

解答 解：（1）當x≤0時f（x）=0，
當x＞0時，f（x）=e^x-e^-x，
由條件可得，e^x-e^-x=2，
即e^2x-2×e^x-1=0，解得e^x=1±$\sqrt{2}$，∵e^x＞0，
∴e^x=1+$\sqrt{2}$，
∴x=ln（1+$\sqrt{2}$）．
（2）當t∈[1，2]時，e^tf（2t）+mf（t）≥0，
即m（e^2t-1）≥-（e^4t-1）．∵e^2t-1＞0，∴m≥-（e^2t+1）．
∵t∈[1，2]，∴-（1+e^2t）∈[-1-e⁴，-1+e]，
故m的取值范圍是[e-1，+∞）．

點評 本題主要考查了函數(shù)恒成立問題．屬于基礎(chǔ)題．恒成立問題多需要轉(zhuǎn)化，因為只有通過轉(zhuǎn)化才能使恒成立問題等到簡化；轉(zhuǎn)化過程中往往包含著多種數(shù)學思想的綜合運用，同時轉(zhuǎn)化過程更提出了等價的意識和要求．