Question

1．如圖，已知四棱錐P-ABCD，地面ABCD為菱形，PA⊥平面ABCD，∠ABC=60°，E、F分別是BC、PC的中點．
（1）證明：AE⊥PD；
（Ⅱ）若AB=2，PA=2，求四面體P-AEF的體積．

Answer 1

分析 （I）通過證明AE⊥平面PAD得出AE⊥PD；
（II）連接PE，證明BC⊥平面PAE，于是V_P-AEF=V_F-PAE=$\frac{1}{2}$V_C-PAE．

解答 證明：（I）∵底面ABCD是菱形，∠ABC=60°，
∴△ABC是等邊三角形，
∵E是BC的中點，
∴AE⊥BC，又BC∥AD，
∴AE⊥AD，
∵PA⊥平面ABCD，AE?平面ABCD，
∴PA⊥AE，
又PA?平面PAD，AD?平面PAD，PA∩AD=A，
∴AE⊥平面PAD，又PD?平面PAD，
∴AE⊥PD．
（II）連接PE，
∵PA⊥平面ABCD，BC?平面ABCD，
∴PA⊥BC，又AE⊥BC，
∴BC⊥平面PAE，
∵四邊形ABCD是菱形，AB=PA=2，∠ABC=60°，
∴AE=$\sqrt{3}$，
∴V_C-PAE=$\frac{1}{3}$S_△PAE•CE=$\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×\sqrt{3}×2×1$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$．
∵F是PC的中點，
∴V_P-AEF=V_F-PAE=$\frac{1}{2}$V_C-PAE=$\frac{\sqrt{3}}{6}$．

點評 本題考查了線面垂直的判定與性質，棱錐的體積計算，屬于中檔題．