Question

10．已知向量$\overrightarrow{m}$=（$\sqrt{3}$cosx，-1），$\overrightarrow{n}$=（sinx，cos²x），函數(shù)f（x）=$\overrightarrow{m}$•$\overrightarrow{n}$+$\frac{1}{2}$．若x∈[0，$\frac{π}{4}$]，f（x）=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，求cos2x的值．

Answer 1

分析 函數(shù)f（x）=$\overrightarrow{m}$•$\overrightarrow{n}$+$\frac{1}{2}$，根據(jù)平面向量數(shù)量積運算求出f（x），化簡，找出與cos2x的關(guān)系即可求解．

解答 解：由題意：函數(shù)f（x）=$\overrightarrow{m}$•$\overrightarrow{n}$+$\frac{1}{2}$，
∴$f（x）=\sqrt{3}sinxcosx-{cos^2}x+\frac{1}{2}$=$\frac{{\sqrt{3}}}{2}sin2x-\frac{1}{2}cos2x$=$sin（2x-\frac{π}{6}）$，
當x∈[0，$\frac{π}{4}$]，f（x）=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，即$sin（2x-\frac{π}{6}）$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$
∵$x∈[{0，\frac{π}{4}}]$
∴$-\frac{π}{6}≤2x-\frac{π}{6}≤\frac{π}{3}$
$又∵sin（2x-\frac{π}{6}）＞0$
∴$cos（{2x-\frac{π}{6}}）=\frac{{\sqrt{6}}}{3}$
∴$cos2x=cos[{（{2x-\frac{π}{6}}）+\frac{π}{6}}]$=$cos（{2x-\frac{π}{6}}）×\frac{{\sqrt{3}}}{2}-sin（{2x-\frac{π}{6}}）×\frac{1}{2}$
=$\frac{{\sqrt{6}}}{3}×\frac{{\sqrt{3}}}{2}-\frac{1}{2}×\frac{{\sqrt{3}}}{3}=\frac{{\sqrt{2}}}{2}-\frac{{\sqrt{3}}}{6}$．

點評 本題主要考查對三角函數(shù)的化簡能力和三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)的運用，利用三角函數(shù)公式將函數(shù)進行化簡是解決本題的關(guān)鍵．屬于中檔題．