Question

18．在平面直角坐標系xOy中，曲線C₁的參數方程是$\left\{\begin{array}{l}{x=1+\sqrt{3}cosα}\\{y=\sqrt{3}sinα}\end{array}\right.$（α為參數），以原點O為極點，x軸的正半軸為極軸，建立極坐標系，曲線C₂的極坐標方程為ρ=1．
（Ⅰ）分別寫出C₁的極坐標方程和C₂的直角坐標方程；
（Ⅱ）若射線l的極坐標方程θ=$\frac{π}{3}$（ρ≥0），且l分別交曲線C₁、C₂于A、B兩點，求|AB|．

Answer 1

分析 （Ⅰ） 將C₁的參數方程化為普通方程為（x-1）²+y²=3，即x²+y²-2x-2=0，利用互化公式可得：C₁的極坐標方程．同理利用互化公式將C₂的極坐標方程ρ=1化為直角坐標方程．
（Ⅱ）將$θ=\frac{π}{3}$（ρ≥0），代入C₁：ρ²-2ρcosθ-2=0．整理得ρ²-ρ-2=0，解得：ρ₁，可得|OA|=ρ₁．把射線θ=$\frac{π}{3}$（ρ≥0）代入C₂的方程，解得ρ₂=1，即|OB|=ρ₂．可得|BA|=|ρ₁-ρ₂|．

解答 解：（Ⅰ） 將C₁的參數方程化為普通方程為（x-1）²+y²=3，即x²+y²-2x-2=0，
∴C₁的極坐標方程為ρ²-2ρcosθ-2=0．
將C₂的極坐標方程ρ=1化為直角坐標方程為x²+y²=1．
（Ⅱ）將$θ=\frac{π}{3}$（ρ≥0），代入C₁：ρ²-2ρcosθ-2=0．整理得ρ²-ρ-2=0，
解得：ρ₁=2，即|OA|=2．
∵曲線C₂是圓心在原點，半徑為1的圓，
∴射線θ=$\frac{π}{3}$（ρ≥0）與C₂相交，則ρ₂=1，即|OB|=1．
故|BA|=|ρ₁-ρ₂|=2-1=1．

點評 本題考查了參數方程化為普通方程、極坐標方程與直角坐標方程的互化、直線與圓相交弦長問題，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．