Question

7．已知橢圓C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）的左焦點為F₁（-$\sqrt{6}$，0），e=$\frac{\sqrt{2}}{2}$．
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）如圖，設R（x₀，y₀）是橢圓C上一動點，由原點O向圓（x-x₀）²+（y-y₀）²=4引兩條切線，分別交橢圓于點P，Q，若直線OP，OQ的斜率存在，并記為k₁，k₂，求證：k₁•k₂為定值；
（Ⅲ）在（Ⅱ）的條件下，試問OP²+OQ²是否為定值？若是，求出該值；若不是，說明理由．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由題意得，c，a，推出b，即可得到橢圓的方程．
（Ⅱ）由已知，直線OP：y=k₁x，OQ：y=k₂x，且與圓R相切，列出方程，說明k₁，k₂是方程$k_{\;}^2-2{x_0}{y_0}{k_{\;}}+y_0^2-4=0$的兩個不相等的實數(shù)根，推出${k_1}{k_2}=\frac{y_0^2-4}{x_0^2-4}$，通過點R（x₀，y₀）在橢圓C上，化簡求解即可．
（Ⅲ）OP²+OQ²是定值18．設直線OP：y=k₁x，OQ：y=k₂x，聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}y={k_1}x\\ \frac{x^2}{12}+\frac{y^2}{6}=1\end{array}\right.$解得$x_1^2+y_1^2=\frac{{12（{1+k_1^2}）}}{1+2k_1^2}$
同理，得$x_2^2+y_2^2=\frac{{12（{1+k_2^2}）}}{1+2k_2^2}$，然后計算OP²+OQ²=${{x}_{1}}^{2}+{{y}_{1}}^{2}$+${{x}_{2}}^{2}+{{y}_{2}}^{2}$化簡求解即可．

解答 （本小題滿分12分）
解：（Ⅰ）由題意得，$c=\sqrt{6}，e=\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，解得$a=2\sqrt{3}$，b=$\sqrt{{a}^{2}-{c}^{2}}$=$\sqrt{6}$…（1分）
∴橢圓方程為$\frac{x^2}{12}+\frac{y^2}{6}=1$…（3分）
（Ⅱ）由已知，直線OP：y=k₁x，OQ：y=k₂x，且與圓R相切，
∴$\frac{{|{{k_1}{x_0}-{y_0}}|}}{{\sqrt{1+k_1^2}}}=2$，化簡得$（{x_0^2-4}）k_1^2-2{x_0}{y_0}{k_1}+y_0^2-4=0$
同理$（{x_0^2-4}）k_2^2-2{x_0}{y_0}{k_2}+y_0^2-4=0$，…（5分）
∴k₁，k₂是方程$k_{\;}^2-2{x_0}{y_0}{k_{\;}}+y_0^2-4=0$的兩個不相等的實數(shù)根
∴$x_0^2-4≠0$，△＞0，${k_1}{k_2}=\frac{y_0^2-4}{x_0^2-4}$…（7分）
∵點R（x₀，y₀）在橢圓C上，所以$\frac{x_0^2}{12}+\frac{y_0^2}{6}=1$，即$y_0^2=6-\frac{1}{2}x_0^2$
∴${k_1}{k_2}=\frac{{2-\frac{1}{2}x_0^2}}{x_0^2-4}=-\frac{1}{2}$…（8分）
（Ⅲ）OP²+OQ²是定值18．
設直線OP：y=k₁x，OQ：y=k₂x，${k}_{1}•{k}_{2}=-\frac{1}{2}$，
聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}y={k_1}x\\ \frac{x^2}{12}+\frac{y^2}{6}=1\end{array}\right.$解得$\left\{\begin{array}{l}x_1^2=\frac{12}{1+2k_1^2}\\ y_1^2=\frac{12k_1^2}{1+2k_1^2}\end{array}\right.$
∴$x_1^2+y_1^2=\frac{{12（{1+k_1^2}）}}{1+2k_1^2}$
同理，得$x_2^2+y_2^2=\frac{{12（{1+k_2^2}）}}{1+2k_2^2}$…（10分）
由OP²+OQ²=${{x}_{1}}^{2}+{{y}_{1}}^{2}$+${{x}_{2}}^{2}+{{y}_{2}}^{2}$=$\frac{{12（{1+k_1^2}）}}{1+2k_1^2}+\frac{{12（{1+k_2^2}）}}{1+2k_2^2}$，
∴OP²+OQ²=$\frac{{12（{1+k_1^2}）}}{1+2k_1^2}+\frac{{12（{1+k_2^2}）}}{1+2k_2^2}$
=$\frac{{12（{1+k_1^2}）}}{1+2k_1^2}+\frac{{12（{1+k_2^2}）}}{1+2k_2^2}$=$\frac{{12（{1+k_1^2}）}}{1+2k_1^2}+\frac{{12（{1+k_2^2}）}}{1+2k_2^2}$
=$\frac{{12（{1+k_1^2}）}}{1+2k_1^2}+\frac{{12（{1+{{（{-\frac{1}{{2{k_1}}}}）}^2}}）}}{{1+2{{（{-\frac{1}{{2{k_1}}}}）}^2}}}=\frac{18+36k_1^2}{1+2k_1^2}=18$
綜上：OP²+OQ²=18…（12分）

點評 本題考查橢圓方程的求法，直線與橢圓的位置關(guān)系的綜合應用，考查分類討論思想、轉(zhuǎn)化思想以及計算能力．