Question

18．已知圓C：（x-3）²+（y-4）²=1和兩點A（-m，0），B（m，0）（m＞0）．若圓上存在點P使得$\overrightarrow{PA}•\overrightarrow{PB}=0$，則m的取值范圍是（　　）

• A． （-∞，4]
• B． （6，+∞）
• C． （4，6）
• D． [4，6]

Answer 1

分析 根據(jù)題意，得出圓C的圓心C與半徑r，設點P（a，b）在圓C上，表示出$\overrightarrow{AP}$=（a+m，b），$\overrightarrow{BP}$=（a-m，b），利用$\overrightarrow{PA}•\overrightarrow{PB}=0$，求出m²，根據(jù)|OP|表示的幾何意義，得出m的取值范圍．

解答 解：∵圓C：（x-3）²+（y-4）²=1，
∴圓心C（3，4），半徑r=1；
設點P（a，b）在圓C上，則$\overrightarrow{AP}$=（a+m，b），$\overrightarrow{BP}$=（a-m，b）；
∵$\overrightarrow{PA}•\overrightarrow{PB}=0$
∴（a+m）（a-m）+b²=0；
即m²=a²+b²；
∴|OP|=$\sqrt{{a}^{2}+^{2}}$，
∴|OP|的最大值是|OC|+r=5+1=6，最小值是|OC|-r=5-1=4；
∴m的取值范圍是[4，6]．
故選D．

點評 本題考查了平面向量的應用問題，也考查了直線與圓的應用問題，是綜合性題目．