Question

設A，B為圓x²+y²=1上兩點，O為坐標原點，M為x軸正半軸上一點（A，O，B不共線）
（1）求證：

OA

+

OB

與

OA

-

OB

垂直
（2）當∠MOA=

π

4

，∠MOB=θ，θ∈（-

π

4

，

π

4

），且

OA

•

OB

=

3

5

時，求sinθ的值．

Answer 1

考點：平面向量的綜合題

專題：綜合題,平面向量及應用

分析：（1）欲證：

OA

+

OB

與

OA

-

OB

垂直，只需證明（

OA

+

OB

）•（

OA

-

OB

）=0即可；
（2）根據(jù)

OA

•

OB

=

3

5

可求出cos（θ-

π

4

）=

3

5

，然后根據(jù)sinθ=sin[（θ-

π

4

）+

π

4

]，利用正弦的兩角和公式進行求解．

解答： （1）證明：由題意知|

OA

|=|

OB

|=1，
∴（

OA

+

OB

）•（

OA

-

OB

）=

OA

²-

OB

²
=|

OA

|²-|

OB

|²=1-1=0，
∴

OA

+

OB

與

OA

-

OB

垂直．
（2）解：

OA

=（cos

π

4

，sin

π

4

），

OB

=（cosθ，sinθ），
∴

OA

•

OB

=cos

π

4

cosθ+sin

π

4

sinθ=cos（θ-

π

4

），
∵

OA

•

OB

=

3

5

，∴cos（θ-

π

4

）=

3

5

，
∵-

π

4

＜θ＜

π

4

，
∴-

π

2

＜θ-

π

4

＜0，
∴sin（θ-

π

4

）=-

4

5

，
∴sinθ=sin[（θ-

π

4

）+

π

4

]
=sin（θ-

π

4

）cos

π

4

+cos（θ-

π

4

）sin

π

4

=-

4

5

×

2

2

+

3

5

×

2

2

=-

2

10

．

點評：本題主要考查了向量在幾何中的應用，以及同角三角函數(shù)和兩角和的正弦公式，同時考查了計算能力，屬于中檔題．