在平面直角坐標系
xOy中,已知點
A(-1, 0)、
B(1, 0), 動點
C滿足條件:△
ABC的周長為2+2

.記動點
C的軌跡為曲線
W.
(Ⅰ)求
W的方程;
(Ⅱ)經(jīng)過點(0,

)且斜率為
k的直線
l與曲線
W有兩個不同的交點
P和
Q,
求
k的取值范圍;
(Ⅲ)已知點
M(

,0),
N(0, 1),在(Ⅱ)的條件下,是否存在常數(shù)
k,使得向量

與

共線?如果存在,求出
k的值;如果不存在,請說明理由.
(Ⅰ)

(Ⅱ)

(Ⅲ)見解析
(Ⅰ) 設
C(
x,
y),
∵

,

,
∴

,
∴由定義知,動點
C的軌跡是以
A、
B為焦點,長軸長為2的橢圓除去與
x軸的兩個交點.
∴

. ∴

.
∴
W:

. …………………………………………… 2分
(Ⅱ) 設直線
l的方程為

,代入橢圓方程,得

.
整理,得

. ①………………………… 5分
因為直線
l與橢圓有兩個不同的交點
P和
Q等價于

,解得

或

.
∴滿足條件的
k的取值范圍為

………… 7分
(Ⅲ)設
P(
x1,
y1),
Q(
x2,
y2),則

=(
x1+
x2,
y1+
y2),
由①得

. ②
又

③
因為

,

,所以

.……………………… 11分
所以

與

共線等價于

.
將②③代入上式,解得

.
所以不存在常數(shù)
k,使得向量

與

共線.
練習冊系列答案
相關(guān)習題
科目:高中數(shù)學
來源:不詳
題型:解答題
已知橢圓W的中心在原點,焦點在

軸上,離心率為

,兩條準線間的距離為6. 橢圓W的左焦點為

,過左準線與

軸的交點

任作一條斜率不為零的直線

與橢圓W交于不同的兩點

、

,點

關(guān)于

軸的對稱點為

.
(Ⅰ)求橢圓W的方程;
(Ⅱ)求證:

(

);
(Ⅲ)求

面積

的最大值.
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科目:高中數(shù)學
來源:不詳
題型:解答題
(本題滿分15分)已知過點

(

,0)(

)的動直線

交拋物線

于

、

兩點,點

與點

關(guān)于

軸對稱.(I)當

時,求證:

;

(II)對于給定的正數(shù)

,是否存在直線

:

,使得

被以

為直徑的圓所截得的弦長為定值?如果存在,求出的


方程;如果不存在,試說明理由.
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科目:高中數(shù)學
來源:不詳
題型:單選題
已知雙曲線

的右焦點與拋物線

的焦點重合,則該雙曲線的離心率為 ( )
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科目:高中數(shù)學
來源:不詳
題型:解答題
在平面直角坐標系

中,有一個以

和

為焦點、離心率為

的橢圓,設橢圓在第一象限的部分為曲線C,動點P在C上,C在點P處的切線與

軸的交點分別為A、B,且向量

。求:
(Ⅰ)點M的軌跡方程; (Ⅱ)

的最小值。
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科目:高中數(shù)學
來源:不詳
題型:單選題
若過點

作直線與拋物線

有且只有一個公共點,則這樣的直線有( )
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科目:高中數(shù)學
來源:不詳
題型:解答題
設動點

到定點


的距離比它到

軸的距離大1,記點

的軌跡為曲線

.
(1)求點

的軌跡方程;
(2)設圓

過


,且圓心

在曲線

上,

是圓

在

軸上截得的弦,試探究當

運動時,弦長

是否為定值?為什么?
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科目:高中數(shù)學
來源:不詳
題型:單選題
如圖所示,下列三圖中的多邊形均為正多邊形,M、N是所在邊的中點,雙曲線均以圖中的F
1,F
2為焦點,設圖中的雙曲線的離心率分別為e
1,e
2,e
3,則 ( )

A.e1>e2>e3 | B.e1<e2<e3 | C.e1=e3<e2 | D.e1=e3>e2 |
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科目:高中數(shù)學
來源:不詳
題型:單選題
如圖,在

中,

,AC、BC邊上的高分別為BD、AE,則以A、B為焦點,且過D、E的橢圓與雙曲線的離心率的倒數(shù)和為 ( )
A.

B.

C.

D.


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