已知橢圓W的中心在原點,焦點在

軸上,離心率為

,兩條準(zhǔn)線間的距離為6. 橢圓W的左焦點為

,過左準(zhǔn)線與

軸的交點

任作一條斜率不為零的直線

與橢圓W交于不同的兩點

、

,點

關(guān)于

軸的對稱點為

.
(Ⅰ)求橢圓W的方程;
(Ⅱ)求證:

(

);
(Ⅲ)求

面積

的最大值.
(Ⅰ)橢圓W的方程為

(Ⅱ)見解析
(Ⅲ)

面積

的最大值為

(Ⅰ)設(shè)橢圓W的方程為

,由題意可知

解得

,

,

,
所以橢圓W的方程為

.……………………………………………4分
(Ⅱ)解法1:因為左準(zhǔn)線方程為

,所以點

坐標(biāo)為

.于是可設(shè)直線

的方程為

.

得

.
由直線

與橢圓W交于

、

兩點,可知

,解得

.
設(shè)點

,

的坐標(biāo)分別為

,

,
則

,

,

,

.
因為

,

,
所以

,

.
又因為





,
所以

. ……………………………………………………………10分
解法2:因為左準(zhǔn)線方程為

,所以點

坐標(biāo)為

.
于是可設(shè)直線

的方程為

,點

,

的坐標(biāo)分別為

,

,
則點

的坐標(biāo)為

,

,

.
由橢圓的第二定義可得

,
所以

,

,

三點共線,即

.…………………………………10分
(Ⅲ)由題意知





,
當(dāng)且僅當(dāng)

時“=”成立,
所以

面積

的最大值為.
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題
科目:高中數(shù)學(xué)
來源:不詳
題型:解答題
在平面直角坐標(biāo)系
xOy中,已知點
A(-1, 0)、
B(1, 0), 動點
C滿足條件:△
ABC的周長為2+2

.記動點
C的軌跡為曲線
W.
(Ⅰ)求
W的方程;
(Ⅱ)經(jīng)過點(0,

)且斜率為
k的直線
l與曲線
W有兩個不同的交點
P和
Q,
求
k的取值范圍;
(Ⅲ)已知點
M(

,0),
N(0, 1),在(Ⅱ)的條件下,是否存在常數(shù)
k,使得向量

與

共線?如果存在,求出
k的值;如果不存在,請說明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué)
來源:不詳
題型:解答題
在平面直角坐標(biāo)系中,O為坐標(biāo)原點,已知點

,

,
若點C滿足

,點C的軌跡與拋物線

交于A、B兩點.
(I)求證:

;
(II)在

軸正半軸上是否存在一定點

,使得過點P的任意一條拋物線的弦的長度是原點到該弦中點距離的2倍,若存在,求出m的值;若不存在,請說明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué)
來源:不詳
題型:解答題
(本題滿分13分)已知平面

上的動點

及兩定點A(-2,0),B(2,0),直線PA,PB的斜率分別是

,

,且

·


。(1)求動點P的軌跡C的方程;
(2)已知直線

與曲線C交于M,N兩點,且直線BM,BN的斜率都存在并滿足

·

,求證:直線

過原點。
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科目:高中數(shù)學(xué)
來源:不詳
題型:解答題
(本題滿分15分)已知直線

,曲線

(1)若

且直線與曲線恰有三個公共點時,求實數(shù)

的取值;
(2)若

,直線與曲線M的交點依次為A,B,C,D四點,求|AB+|CD|的取值范圍。
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科目:高中數(shù)學(xué)
來源:不詳
題型:解答題
在直角坐標(biāo)系中,已知一個圓心在坐標(biāo)原點,半徑為2的圓,從這個圓上任意一點
P向
y軸作垂線段
PP′,
P′為垂足.
(1)求線段
PP′中點
M的軌跡
C的方程;
(2)過點
Q(-2,0)作直線
l與曲線
C交于
A、
B兩點,設(shè)
N是過點

,且以

為方向向量的直線上一動點,滿足

(
O為坐標(biāo)原點),問是否存在這樣的直線
l,使得四邊形
OANB為矩形?若存在,求出直線
l的方程;若不存在,說明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué)
來源:不詳
題型:解答題
已知橢圓



,
得

且

的公共弦

過橢圓

的右焦點。
⑴當(dāng)

軸時,求

的值,并判斷拋物線

的焦點是否在直線

上;
⑵若

,且拋物線

的焦點在直線

上,求

的值及直線AB的方程。
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科目:高中數(shù)學(xué)
來源:不詳
題型:解答題
已知定點
A(-2,0),動點
B是圓

(
F為圓心)上一點,線段
AB的垂直平分線交
BF于
P.
(1)求動點P的軌跡方程;
(2)是否存在過點E(0,-4)的直線
l交
P點的軌跡于點
R,T,且滿足

(
O為原點),若存在,求直線
l的方程,若不存在,請說明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué)
來源:不詳
題型:單選題
已知雙曲線

(
a>0,
b>0)的一條漸近線為


,離心率

,則雙曲線方程為
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