Question

16．在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為菱形，∠DAB=60°，PC⊥平面ABCD，且AB=2，PC=$\sqrt{6}$，F是PC的中點．
（Ⅰ）求證：PA∥平面DBF；
（Ⅱ）求直線PA和平面PBC所成的角的正弦值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）連AC，交BD于點O，連接FO，證明OF∥PA，利用直線與平面平行的判定定理證明PA∥平面DBF．
（Ⅱ）過點A作CB的垂線，交CB的延長線于E，連接PE，證明PC⊥AE，AE⊥BC，說明∠APE就是直線PA和平面PBC所成的角，通過求解三角形求解即可．

解答 解：（Ⅰ）連AC，交BD于點O，連接FO
∵底面ABCD為菱形，∴O為AC中點，又∵F是PC的中點，
∴OF是△PAC的中位線，∴OF∥PA
又∵OF?平面DBF，PA?平面DBF，∴PA∥平面DBF
（Ⅱ）過點A作CB的垂線，交CB的延長線于E，連接PE
∵PC⊥平面ABCD，∴PC⊥AE，又∵AE⊥BC，

∴AH⊥平面PBC．
∴∠APE就是直線PA和平面PBC所成的角
而$PA=3\sqrt{2}$，$AE=2sin{60°}=\sqrt{3}$
∴$sin∠APE=\frac{{\sqrt{3}}}{{3\sqrt{2}}}=\frac{{\sqrt{6}}}{6}$
∴直線PA和平面PBC所成的角的正弦值為$\frac{{\sqrt{6}}}{6}$．

點評 本題考查直線與平面平行的判定定理的應用，直線與平面市場價的求法，考查空間想象能力以及計算能力．