Question

11．已知a，b∈R，a²+b²=$\frac{1}{2}$．
（1）求證：|a|+|b|≤1；
（Ⅱ）證明：方程：x²+ax+b=0，兩根的絕對值均小于或等于1．

Answer 1

分析 （1）利用（|a|+|b|）²≤2（a²+b²）即可證明．
（2）由（1）中|a|+|b|≤1，自然聯(lián)想|a|-|b|≤|a±b|≤|a|+|b|，而a、b是方程的系數(shù)，欲證根的絕對值小于等于1，由韋達定理，尋找解題途徑．

解答 證明：（1）∵a²+b²=$\frac{1}{2}$，
∴（|a|+|b|）²≤2（a²+b²）=1，當且僅當a=b時取等號．
∴|a|+|b|≤1；
（2）設方程的兩根為x₁、x₂，由韋達定理得x₁+x₂=-a，x₁x₂=b，
代入|a|+|b|≤1有|x₁+x₂|+|x₁x₂|≤1（*）．
①用|x₁|-|x₂|≤|x₁+x₂|，把（*）式放縮得|x₁|-|x₂|+|x₁x₂|≤1，
∴（|x₁|-1）（|x₂|+1）≤0，∵|x₂|+1＞0，∴|x₁|≤1．
②用|x₂|-|x₁|≤|x₁+x₂|，把（*）式放縮，
同理可得，|x₂|≤1．綜合①②有|x₁|≤1，|x₂|≤1．
故方程x²+ax+b=0的兩根的絕對值均小于1．

點評 本題考查了基本不等式的性質，考查放縮法的運用，考查學生分析解決問題的能力，屬于中檔題．