Question

2．已知函數(shù)f（x）=ln（x-1）-k（x-1）+1（k∈R）．
（1）求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）若g（x）=$\frac{1}{3}{x^3}-ln（{x+1}）+f（{x+2}）$滿足：對(duì)任意的x₁，x₂∈[0，1]，都有|g（x₁）-g（x₂）|≤1恒成立，試確定實(shí)數(shù)k的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）求出導(dǎo)函數(shù)$f'（x）=\frac{1}{x-1}-k$，通過(guò)當(dāng)k≤0時(shí)，當(dāng)k＞0時(shí)，判斷導(dǎo)函數(shù)的符號(hào)，推出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間即可．
（2）$g（x）=\frac{1}{3}{x^3}-kx-k+1x∈[{0，1}]$，通過(guò)對(duì)任意的x₁，x₂∈[0，1]，都有|g（x₁）-g（x₂）|≤1恒成立，轉(zhuǎn)化為：當(dāng)x∈[0，1]，有g(shù)_max（x）-g_min（x）≤1成立，求出g'（x）=x²-k，通過(guò)當(dāng)k≤0時(shí)，當(dāng)k＞0時(shí)，求解函數(shù)的最值，通過(guò)g_max（x）-g_min（x）=$g（1）-g（\sqrt{k}）=\frac{1}{3}-k+\frac{2}{3}{k^{\frac{3}{2}}}$，令$h（k）=\frac{1}{3}-k+\frac{2}{3}{k^{\frac{3}{2}}}$，$k∈（{0，\frac{1}{3}}）$，
則$h'（k）={k^{\frac{1}{2}}}-1＜0$，利用h（k）在$（{0，\frac{1}{3}}）$為減函數(shù)，求解即可．

解答 解：（1）∵ln（x-1）-k（x-1）+1（x＞1），∴$f'（x）=\frac{1}{x-1}-k$，
當(dāng)k≤0時(shí)，f′（x）＞0恒成立，故函數(shù)在（1，+∞）為增函數(shù)，
當(dāng)k＞0時(shí)，令f'（x）=0，得$x=\frac{k+1}{k}＞1$
當(dāng)f'（x）＜0，即$1＜x＜\frac{k+1}{k}$時(shí)，函數(shù)為減函數(shù)，
當(dāng)f'（x）＞0，即$x＞\frac{k+1}{k}$時(shí)，函數(shù)為增函數(shù)，
綜上所述，當(dāng)k≤0時(shí)，函數(shù)f（x）在（1，+∞）為增函數(shù)，
當(dāng)k＞0時(shí)，函數(shù)f（x）在$（1，\frac{k+1}{k}）$為減函數(shù)，在$（\frac{k+1}{k}，+∞）$為增函數(shù)．
（2）$g（x）=\frac{1}{3}{x^3}-kx-k+1x∈[{0，1}]$，
因?yàn)閷?duì)任意的x₁，x₂∈[0，1]，都有|g（x₁）-g（x₂）|≤1恒成立
所以當(dāng)x∈[0，1]，有g(shù)_max（x）-g_min（x）≤1成立g'（x）=x²-k
當(dāng)k≤0時(shí)，g'（x）=x²-k≥0恒成立，g（x）在[0，1]為增函數(shù)
由g_max（x）-g_min（x）=$g（1）-g（0）=\frac{1}{3}-k≤1$得$k≥-\frac{2}{3}$，所以$-\frac{2}{3}≤k≤0$
當(dāng)k＞0時(shí)，由g'（x）=x²-k=0得$x=\sqrt{k}$
易知g（x）在$[{0，\sqrt{k}}]$為減函數(shù)，在$[{\sqrt{k}，+∞}）$為增函數(shù)
若k≥1，則g（x）在[0，1]為減函數(shù)，由g_max（x）-g_min（x）=$g（0）-g（1）=k-\frac{1}{3}≤1$
得$k≤\frac{4}{3}$，所以$1≤k≤\frac{4}{3}$
若$\frac{1}{3}≤k＜1$，則g（x）在$[{0，\sqrt{k}}]$為減函數(shù)，在$[{\sqrt{k}，1}]$為增函數(shù)，$g（1）-g（0）=\frac{1}{3}-k≤0$
所以g_max（x）-g_min（x）=$g（0）-g（\sqrt{k}）=-\frac{2}{3}{k^{\frac{3}{2}}}$，
而$\frac{1}{3}≤k＜1$時(shí)$-\frac{2}{3}{k^{\frac{3}{2}}}≤1$恒成立，所以$\frac{1}{3}≤k＜1$適合題意
若$0＜k＜\frac{1}{3}$，則g（x）在$[{0，\sqrt{k}}]$為減函數(shù)，在$[{\sqrt{k}，1}]$為增函數(shù)，$g（1）-g（0）=\frac{1}{3}-k＞0$
所以g_max（x）-g_min（x）=$g（1）-g（\sqrt{k}）=\frac{1}{3}-k+\frac{2}{3}{k^{\frac{3}{2}}}$，
令$h（k）=\frac{1}{3}-k+\frac{2}{3}{k^{\frac{3}{2}}}$，$k∈（{0，\frac{1}{3}}）$，
則$h'（k）={k^{\frac{1}{2}}}-1＜0$，所以h（k）在$（{0，\frac{1}{3}}）$為減函數(shù)，所以$h（k）＜h（0）=\frac{1}{3}＜1$，所以$0＜k＜\frac{1}{3}$適合題意
綜上所述：$-\frac{2}{3}≤k≤\frac{4}{3}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用冪函數(shù)的極值以及函數(shù)的單調(diào)性的應(yīng)用，考查計(jì)算能力與轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用．