Question

12．已知函數(shù)$f（x）=\left\{\begin{array}{l}{lo{g_2}（{{x^2}-2ax+3a}），x≥1}\\{1-{x^2}，x＜1}\end{array}$的值域為R，則常數(shù)a的取值范圍是（　�。�

• A． （-1，1]∪[2，3）
• B． （-∞，1]∪[2，+∞）
• C． （-1，1）∪[2，3）
• D． （-∞，0]{1}∪[2，3）

Answer 1

分析 利用分段函數(shù)求解分段求解函數(shù)的值域，然后列出不等式求解即可．

解答 解：函數(shù)$f（x）=\left\{\begin{array}{l}{lo{g_2}（{{x^2}-2ax+3a}），x≥1}\\{1-{x^2}，x＜1}\end{array}$，
當x＜1時，f（x）=1-x²≤1，
∴x≥1時，f（x）=$lo{g_2}（{{x^2}-2ax+3a}），x≥1$的最小值小于1，
因為y=x²-2ax+3a的開口向上，對稱軸為x=a，
若a≤1，當x≥1時，函數(shù)是增函數(shù)，最小值為f（1）=log₂（1+a），可得log₂（1+a）≤1，解得a∈（-1，1]；
若a＞1，最小值為$f（a）=lo{g_2}（{3a-{a^2}}）$，可得$lo{g_2}（{3a-{a^2}}）≤1$，解得a∈[2，3），
常數(shù)a的取值范圍是（-1，1]∪[2，3），
故選：A．

點評 本題考查分段函數(shù)的應(yīng)用，函數(shù)的值域，考查轉(zhuǎn)化思想以及計算能力．