Question

7．為了解甲、乙兩廠的產(chǎn)品質(zhì)量，采用分層抽樣的方法從甲、乙兩廠生產(chǎn)的產(chǎn)品中分別抽出14件和5件，測量產(chǎn)品中的微量元素x，y的含量（單位：毫克）．已知甲廠生產(chǎn)的產(chǎn)品共有98件，下表是乙廠的5件產(chǎn)品的測量數(shù)據(jù)：

編號	1	2	3	4	5
x	169	178	166	175	180
y	75	80	77	70	81

（1）求乙廠生產(chǎn)的產(chǎn)品數(shù)量；
（2）當(dāng)產(chǎn)品中的微量元素x，y滿足x≥175，且y≥75時，該產(chǎn)品為優(yōu)等品．用上述樣本數(shù)據(jù)估計乙廠生產(chǎn)的優(yōu)等品的數(shù)量；
（3）從乙廠抽出的上述5件產(chǎn)品中，隨機抽取2件，求抽取的2件產(chǎn)品中優(yōu)等品數(shù)ξ的分布列及其均值（即數(shù)學(xué)期望）．

Answer 1

分析 （1）求出抽樣比，然后求解乙廠生產(chǎn)的產(chǎn)品數(shù)量；
（2）求出乙廠生產(chǎn)的產(chǎn)品中的優(yōu)等品$\frac{2}{5}$，然后求解乙廠生產(chǎn)的優(yōu)等品的數(shù)量；
（3）ξ的取值為0，1，2．求出概率，得到分布列，然后求解期望即可．

解答 （12分）解：（1）抽樣比為$\frac{98}{14}=7，5×7=35$，即乙廠生產(chǎn)的產(chǎn)品數(shù)量為35件．
（2）易見只有編號為2，5的產(chǎn)品為優(yōu)等品，所以乙廠生產(chǎn)的產(chǎn)品中的優(yōu)等品$\frac{2}{5}$，
故乙廠生產(chǎn)有大約$35×\frac{2}{5}=14$（件）優(yōu)等品，
（3）ξ的取值為0，1，2．
$P（ξ=0）=\frac{C_3^2}{C_5^2}=\frac{3}{10}，P（ξ=1）=\frac{C_3^1×C_2^1}{C_5^2}=\frac{3}{5}，P（ξ=2）=\frac{C_3^2}{C_5^2}=\frac{1}{10}$，
所以ξ的分布列為：

ξ	0	1	2
P	$\frac{3}{10}$	$\frac{6}{10}$	$\frac{1}{10}$

故$ξ的均值為Eξ=0×\frac{3}{10}+1×\frac{3}{5}+2×\frac{1}{10}+=\frac{4}{5}$．

點評 本題考查分層抽樣，離散性隨機變量的分布列以及期望的求法，考查分析問題解決問題的能力．