Question

14．已知點A，B的坐標分別為（-$\sqrt{2}$，0），（$\sqrt{2}$，0），直線AM，BM相交于點M，且它們的斜率之積是-$\frac{1}{2}$，點M的軌跡為曲線E．
（Ⅰ）求E的方程；
（Ⅱ）過點F（1，0）作直線l交曲線E于P，Q兩點，交y軸于R點，若$\overrightarrow{RP}$=λ₁$\overrightarrow{PF}$，$\overrightarrow{RQ}$=λ₂$\overrightarrow{QF}$，求證：λ₁+λ₂為定值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）設(shè)M（x，y），則由已知可得$\frac{y}{x+\sqrt{2}}$•$\frac{y}{x-\sqrt{2}}$=-$\frac{1}{2}$，由此能夠?qū)С鰴E圓C的方程．
（Ⅱ）：設(shè)設(shè)P，Q，R點的坐標，由$\overrightarrow{RP}$=λ₁$\overrightarrow{PF}$，$\overrightarrow{RQ}$=λ₂$\overrightarrow{QF}$，得出λ₁，λ₂是方程x²+4x+2-2y₀²=0的兩個根，可得λ₁+λ₂=-4．

解答 （Ⅰ）解：設(shè)M（x，y），則由已知可得$\frac{y}{x+\sqrt{2}}$•$\frac{y}{x-\sqrt{2}}$=-$\frac{1}{2}$，
化簡可得E的方程為$\frac{{x}^{2}}{2}+{y}^{2}$=1（x≠±$\sqrt{2}$）；
（Ⅱ）證明：設(shè)P，Q，R點的坐標分別為P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），R（0，y₀），
∵$\overrightarrow{RP}$=λ₁$\overrightarrow{PF}$，∴（x₁，y₁-y₀）=λ₁（1-x₁，-y₁）．
∴x₁=$\frac{{λ}_{1}}{1+{λ}_{1}}$，y₁=$\frac{{y}_{0}}{1+{λ}_{1}}$．
將P點坐標代入到橢圓方程中得：$\frac{1}{2}$（$\frac{{λ}_{1}}{1+{λ}_{1}}$）²+（$\frac{{y}_{0}}{1+{λ}_{1}}$）²=1，
去分母整理，得λ₁²+4λ₁+2-2y₀²=0．
同理，由$\overrightarrow{RQ}$=λ₂$\overrightarrow{QF}$，可得：λ₂²+4λ₂+2-2y₀²=0．
∴λ₁，λ₂是方程x²+4x+2-2y₀²=0的兩個根，
∴λ₁+λ₂=-4．

點評 本題是橢圓性質(zhì)的綜合應(yīng)用題，考查橢圓方程，考查向量知識的運用，解題時要注意公式的合理選取和靈活運用．