Question

3．已知雙曲線C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞0，b＞0），過(guò)雙曲線右焦點(diǎn)F傾斜角為$\frac{π}{4}$的直線與該雙曲線的漸近線分別交于M、N．若|FM|=2|FN|，則該雙曲線的離心率等于（　　）

• A． $\frac{\sqrt{10}}{3}$
• B． $\sqrt{3}$
• C． $\sqrt{3}$或$\frac{\sqrt{10}}{3}$
• D． $\frac{\sqrt{10}}{3}$或$\sqrt{10}$

Answer 1

分析 求出雙曲線的漸近線方程，討論b＞a＞0，可得N為FM的中點(diǎn)．當(dāng)a＞b＞0時(shí)，可得$\overrightarrow{FM}$=-2$\overrightarrow{FN}$，求出直線MN的方程，聯(lián)立漸近線方程可得M，N的坐標(biāo)，求得b=3a或a=3b，再由離心率公式即可得到所求值．

解答 解：雙曲線C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1的漸近線方程為y=±$\frac{a}$x，
當(dāng)b＞a＞0時(shí)，如右圖．
若|FM|=2|FN|，可得N為FM的中點(diǎn)．
由直線MN：y=x-c，聯(lián)立y=$\frac{a}$x，可得M（$\frac{ac}{a-b}$，$\frac{bc}{a-b}$），
由直線MN：y=x-c，聯(lián)立y=-$\frac{a}$x，可得N（$\frac{ac}{a+b}$，-$\frac{bc}{a+b}$），
由F（c，0），可得-$\frac{2bc}{a+b}$=$\frac{bc}{a-b}$，
化簡(jiǎn)為b=3a，
即有e=$\frac{c}{a}$=$\sqrt{1+（\frac{a}）^{2}}$=$\sqrt{1+9}$=$\sqrt{10}$；
當(dāng)a＞b＞0時(shí)，如右圖．
若|FM|=2|FN|，可得$\overrightarrow{FM}$=-2$\overrightarrow{FN}$，
由直線MN：y=x-c，聯(lián)立y=$\frac{a}$x，可得M（$\frac{ac}{a-b}$，$\frac{bc}{a-b}$），
由直線MN：y=x-c，聯(lián)立y=-$\frac{a}$x，可得N（$\frac{ac}{a+b}$，-$\frac{bc}{a+b}$），
由F（c，0），可得$\frac{bc}{a-b}$=-2•（-$\frac{bc}{a+b}$），
化簡(jiǎn)為a=3b，
即有e=$\frac{c}{a}$=$\sqrt{1+（\frac{a}）^{2}}$=$\sqrt{1+\frac{1}{9}}$=$\frac{\sqrt{10}}{3}$．
則該雙曲線的離心率等于$\frac{\sqrt{10}}{3}$或$\sqrt{10}$．
故選：D．

點(diǎn)評(píng) 本題考查雙曲線的離心率的求法，注意運(yùn)用雙曲線的漸近線方程，以及分類討論的思想方法，以及向量共線的坐標(biāo)表示，考查運(yùn)算能力，屬于中檔題．