Question

1．已知A，B是△ABC的兩個內(nèi)角．
（I）若A，B∈（$\frac{π}{4}$，$\frac{π}{2}$），求證：tanAtanB＞1；
（Ⅱ）若A，B滿足$\sqrt{3}$cosA=cos（2B-A），求tan（B-A）tanB的值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根據(jù)A、B的范圍和正切函數(shù)的單調(diào)性，判斷出tanA＞1、tanB＞1，由不等式的性質(zhì)證明結論成立；
（Ⅱ）由題意得A=B-（B-A）、2B-A=B+（B-A），利用兩角和與差的余弦函數(shù)化簡已知的式子，利用商的關系即可求出tan（B-A）tanB的值．

解答 證明：（Ⅰ）∵函數(shù)y=tanx在$（\frac{π}{4}，\frac{π}{2}）$上遞增，且A，B∈（$\frac{π}{4}$，$\frac{π}{2}$），
∴tanA＞tan$\frac{π}{4}$=1，tanB＞tan$\frac{π}{4}$=1，
∴tanAtanB＞1；
解：（Ⅱ）∵$\sqrt{3}$cosA=cos（2B-A），
∴$\sqrt{3}$cos[B-（B-A）]]=cos[B+（B-A）]，
$\sqrt{3}$[cosBcos（B-A）+sinBsin（B-A）]=cosBcos（B-A）-sinBsin（B-A）
（$\sqrt{3}+$1）sinBsin（B-A）=（$1-\sqrt{3}$）cosBcos（B-A）
∴$\frac{sinBsin（B-A）}{cosBcos（B-A）}$=$\frac{1-\sqrt{3}}{1+\sqrt{3}}$=$\sqrt{3}-2$，
即tan（B-A）tanB=$\sqrt{3}-2$．

點評 本題考查兩角和與差的余弦函數(shù)，正切函數(shù)的單調(diào)性，以及不等式的性質(zhì)的應用，角之間的相互轉(zhuǎn)化是解題的關鍵．