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【題目】已知函數.

（1）求函數的單調區(qū)間；

（2）當時，如果方程有兩個不等實根，求實數t的取值范圍，并證明.

【答案】（1）當時，的單調遞增區(qū)間是，單調遞減區(qū)間是；當時，的單調遞增區(qū)間是，單調遞減區(qū)間是；（2），證明見解析.

【解析】

（1）求出，對分類討論，分別求出的解，即可得出結論；

（2）由（1）得出有兩解時的范圍，以及關系，將，等價轉化為證明，不妨設，令，則，即證，構造函數，只要證明對于任意恒成立即可.

（1）的定義域為R，且.

由，得；由，得.

故當時，函數的單調遞增區(qū)間是，

單調遞減區(qū)間是；

當時，函數的單調遞增區(qū)間是，

單調遞減區(qū)間是.

（2）由（1）知當時，，且.

當時，；當時，.

當時，直線與的圖像有兩個交點，

實數t的取值范圍是.

方程有兩個不等實根，

，，，，

，即.

要證，只需證，

即證，不妨設.

令，則，

則要證，即證.

令，則.

令，則，

在上單調遞增，.

，在上單調遞增，

，即成立，

即成立..

練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】已知函數，其中e為自然對數的底數．

（1）若函數的圖象在點處的切線方程為，求實數a的值；

（2）若函數有2個不同的零點，．

①求實數a的取值范圍；

②求證：．

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科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】“微信運動”是手機推出的多款健康運動軟件中的一款，大學生M的微信好友中有400位好友參與了“微信運動”．他隨機抽取了40位參與“微信運動”的微信好友（女20人，男20人）在某天的走路步數，經統(tǒng)計，其中女性好友走路的步數情況可分為五個類別：、步，（說明：“”表示大于或等于0，小于2000，以下同理），、步，、步，、步，、步，且、、三種類別的人數比例為，將統(tǒng)計結果繪制如圖所示的柱形圖；男性好友走路的步數數據繪制如圖所示的頻率分布直方圖．

（Ⅰ）若以大學生抽取的微信好友在該天行走步數的頻率分布，作為參與“微信運動”的所有微信好友每天走路步數的概率分布，試估計大學生的參與“微信運動”的400位微信好友中，每天走路步數在的人數；

（Ⅱ）若在大學生該天抽取的步數在的微信好友中，按男女比例分層抽取6人進行身體狀況調查，然后再從這6位微信好友中隨機抽取2人進行采訪，求其中至少有一位女性微信好友被采訪的概率．

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科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】如圖所示多面體中，AD⊥平面PDC，四邊形ABCD為平行四邊形，點E，F分別為AD，BP的中點，AD＝3，AP＝3，PC．

（1）求證：EF//平面PDC；

（2）若∠CDP＝120°，求二面角E﹣CP﹣D的平面角的余弦值．

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科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】已知函數，其中，.

（1）若，求函數的單調減區(qū)間；

（2）若數的極值點是，求b、c的值；

（3）若，曲線在處的切線斜率為，求證：的極大值大于.

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科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】已知函數，其中e是自然對數的底數

（1）若，求的最小值；

（2）記f（x）的圖象在處的切線的縱截距為，求的極值；

（3）若有2個零點，求證：．

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科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】已知函數.

（1）當時，求證：；

（2）若不等式在上恒成立，求實數的取值范圍.

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科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】已知函數．

（1）若，證明：對任意，存在，使得；

（2）若恒成立，求實數的取值范圍．

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科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】直三棱柱中，，分別是 的中點，，為棱上的點．

（1）證明：；

（2）是否存在一點，使得平面與平面所成銳二面角的余弦值為？若存在，說明點的位置，若不存在，說明理由．

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